ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 242: Формула бинома Ньютона
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Никита Ершов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Пусть (Fk) — последовательность Фибоначчи (1,1,2,3,5,8,bigcircbigcircbigcirc). Доказать равенство C0n+C1n-1+C2n-2+bigcircbigcircbigcirc+Ckn-k=Fk+1, где k=n/2 (если n чётно) или k=n-1/2 (если n нечётно).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В условии задачи есть опечатка в правой части равенства. Правильная формула связывает сумму диагональных биномиальных коэффициентов с числом Фибоначчи Fn+1 (или Fn, в зависимости от нумерации последовательности). В стандартной нумерации Фибоначчи (F1=1,F2=1,F3=2,…) верно следующее тождество:
C0n+C1n-1+C2n-2+…+Ckn-k=Fn+1где k=⌊n/2⌋. Мы будем доказывать это исправленное утверждение методом математической индукции по n, как указано в подсказке.
Шаг 1. Проверка базиса индукции
Проверим равенство для малых значений n.
- При n=1: левая часть равна C01=1. Правая часть F1+1=F2=1. Равенство верно.
- При n=2: левая часть равна C02+C11=1+1=2. Правая часть F2+1=F3=2. Равенство верно.
- При n=3: левая часть равна C03+C12=1+2=3. Правая часть F3+1=F4=3. Равенство верно.
Шаг 2. Предположение индукции
Предположим, что равенство верно для всех натуральных чисел, меньших или равных некоторому m. То есть считаем истинными утверждения:
Sm=∑⌊m/2⌋j=0Cjm-j=Fm+1 Sm-1=∑⌊(m-1)/2⌋j=0Cjm-1-j=FmШаг 3. Переход к n=m+1
Рассмотрим сумму для n=m+1:
Sm+1=C0m+1+C1m+C2m-1+…+Ckm+1-kИспользуем основное свойство биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля): Crn=Crn-1+Cr-1n-1.
Применим это свойство ко всем членам суммы, кроме первого (C0m+1=1), так как для него нет предыдущего уровня в нужном виде, либо можно считать C-1m=0.
Запишем разложение:
C0m+1=1 C1m=C1m-1+C0m-1 C2m-1=C2m-2+C1m-2 ⋮ Ckm+1-k=Ckm-k+Ck-1m-kСложим все эти равенства. Заметим, что сумма распадается на две группы слагаемых:
Sm+1=1+(C0m-1+C1m-1+C1m-2+C2m-2+…)+(C1m-1+C2m-2+…)Более аккуратно перегруппируем члены. Выделим из Sm+1 первый член C0m+1=1. Остальные члены преобразуем через рекуррентное соотношение:
Sm+1=C0m+1+∑⌊(m+1)/2⌋j=1Cjm+1-j Sm+1=1+∑⌊(m+1)/2⌋j=1(Cjm-j+Cj-1m-j)Разобьем сумму на две части:
Sm+1=1+∑⌊(m+1)/2⌋j=1Cjm-jA+∑⌊(m+1)/2⌋j=1Cj-1m-jBРассмотрим сумму B. Сделаем замену индекса i=j-1. Тогда j=i+1, и пределы суммирования изменятся: при j=1⇒i=0, при максимальном j индекс i будет близок к ⌊m/2⌋.
B=∑⌊(m+1)/2⌋-1i=0Cim-(i+1)=∑⌊m/2⌋i=0Cim-1-iЗаметим, что полученная сумма B в точности совпадает с определением Sm-1 (сумма для числа m-1).
Теперь рассмотрим сумму A вместе с вынесенной единицей. Заметим, что C0m=1. Если мы добавим этот член к сумме A, то получим:
1+A=C0m+∑⌊(m+1)/2⌋j=1Cjm-j=∑⌊m/2⌋j=0Cjm-j(Верхний предел суммы A фактически ограничен тем, где нижний индекс неотрицателен, что совпадает с верхним пределом для Sm).
Таким образом, 1+A=Sm.
Подставим найденные выражения обратно в формулу для Sm+1:
Sm+1=(1+A)+B=Sm+Sm-1Шаг 4. Использование свойств чисел Фибоначчи
По предположению индукции мы знаем, что Sm=Fm+1 и Sm-1=Fm.
Следовательно:
Sm+1=Fm+1+FmПо определению последовательности Фибоначчи, сумма двух предыдущих членов равна следующему члену:
Fm+1+Fm=Fm+2А правая часть проверяемого равенства для n=m+1 должна быть равна F(m+1)+1=Fm+2.
Таким образом, Sm+1=Fm+2, что завершает шаг индукции.
Шаг 5. Заключение
Методом математической индукции доказано, что сумма диагональных элементов треугольника Паскаля равна соответствующему числу Фибоначчи:
C0n+C1n-1+C2n-2+…+Ckn-k=Fn+1где k=⌊n/2⌋.
Доказано методом математической индукции, что сумма C0n+C1n-1+…=Fn+1.
В исходном условии задачи допущена ошибка в правой части равенства (указано Fk+1 вместо Fn+1). Решение построено на доказательстве корректного математического факта, известного как связь чисел Фибоначчи с суммами биномиальных коэффициентов по диагоналям треугольника Паскаля.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 242 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 242?
Краткий ответ: Доказано методом математической индукции, что сумма C_n^0 + C_n-1^1 + = F_n+1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 24. Формула бинома Ньютона.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.