10–11 классы Формула бинома Ньютона § 24. Формула бинома Ньютона

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 241: Формула бинома Ньютона

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Никита Ершов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 240 242 →

Условие

Доказать тождество для биномиальных коэффициентов: Ckk+Ckk+1+bigcircbigcircbigcirc+Ckn=Ck+1n+1, если 0≠k≠n.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В условии задачи записано тождество для биномиальных коэффициентов (числа сочетаний). Символы bigcircbigcircbigcirc обозначают пропущенные слагаемые, которые образуют арифметическую прогрессию по верхнему индексу. Таким образом, полное условие выглядит так:

Ckk+Ckk+1+…+Ckn=Ck+1n+1

где 0<k≤n. Нам нужно доказать это равенство.

Шаг 1. Анализ структуры и выбор метода доказательства

Биномиальные коэффициенты обладают свойством симметрии: Crm=Cm-rm. Однако в данном случае удобнее использовать рекуррентное соотношение Паскаля (треугольник Паскаля):

Crm=Cr-1m-1+Crm-1

Отсюда можно выразить одно из слагаемых суммы через разность двух соседних коэффициентов следующего порядка. Перепишем формулу Паскаля в виде:

Crm-1=Cr+1m-Cr+1m-1

Этот приём позволяет представить сумму как телескопическую, где промежуточные члены сокращаются.

Шаг 2. Преобразование общего члена суммы

Рассмотрим общий член левой части суммы: Cki, где индекс i меняется от k до n.

Используем формулу Паскаля для Ck+1i+1:

Ck+1i+1=Cki+Ck+1i

Выразим Cki:

Cki=Ck+1i+1-Ck+1i

Теперь подставим это выражение для каждого слагаемого исходной суммы.

Для первого слагаемого (i=k): Ckk=Ck+1k+1-Ck+1k. Заметим, что Ck+1k=0, так как нельзя выбрать k+1 элементов из k. Следовательно, Ckk=Ck+1k+1.
Для второго слагаемого (i=k+1): Ckk+1=Ck+1k+2-Ck+1k+1.
Для третьего слагаемого (i=k+2): Ckk+2=Ck+1k+3-Ck+1k+2.
...
Для последнего слагаемого (i=n): Ckn=Ck+1n+1-Ck+1n.

Шаг 3. Суммирование и сокращение (телескопическая сумма)

Запишем всю левую часть S:

S=Ckk+Ckk+1+Ckk+2+…+Ckn

Подставляем полученные выражения:

S=Ck+1k+1+(Ck+1k+2-Ck+1k+1)+(Ck+1k+3-Ck+1k+2)+…+(Ck+1n+1-Ck+1n)

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

S=Ck+1k+1₁-Ck+1k+1₂+Ck+1k+2₃-Ck+1k+2₄+…-Ck+1n_last-1+Ck+1n+1_last

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

Ck+1k+1 сокращается с -Ck+1k+1;
Ck+1k+2 сокращается с -Ck+1k+2;
и так далее до Ck+1n.

Остаётся только последнее положительное слагаемое:

S=Ck+1n+1

Шаг 4. Проверка на простых примерах

Пусть k=1,n=3. Тогда левая часть:

C11+C12+C13=1+2+3=6

Правая часть:

C1+13+1=C24=4·3/2=6

Равенство выполняется.

Пусть k=2,n=4. Левая часть:

C22+C23+C24=1+3+6=10

Правая часть:

C2+14+1=C35=5·4·3/3·2·1=10

Равенство выполняется.

Ответ

Тождество доказано методом телескопического суммирования с использованием свойства биномиальных коэффициентов Cki=Ck+1i+1-Ck+1i.

Ответ

Доказано: Ckk+Ckk+1+…+Ckn=Ck+1n+1

В условии использованы символы '0 != k != n', что математически некорректно, но в контексте школьной программы означает, что k и n — натуральные числа, и обычно подразумевается 0<k≤n. Если бы k > n, сумма была бы пустой или требовала бы других определений, но стандартная задача предполагает именно этот диапазон. Доказательство приведено через рекуррентную формулу Паскаля.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 241 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 241?

Краткий ответ: Доказано: C_k^k + C_k+1^k + + C_n^k = C_n+1^k+1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 24. Формула бинома Ньютона.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.