10–11 классы Испытания. Серия испытаний до первого успеха § 25. Испытания. Серия испытаний до первого успеха

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 245: Испытания. Серия испытаний до первого успеха

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 244 246 →

Условие

Игральный кубик бросают до выпадения числа 1 или 3. Построить дерево эксперимента, указать событие A и найти его вероятность, если событие A состоит в том, что потребуется

а) ровно 2 броска

б) три или 4 броска

в) не более 2 бросков

г) более 3 бросков.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы рассматриваем серию независимых испытаний (бросков игрального кубика), которые продолжаются до наступления определённого события. Нам нужно проанализировать вероятности того, что процесс завершится за конкретное число бросков или в заданном диапазоне.

Шаг 1. Определение вероятностей успеха и неудачи

Испытание считается успешным, если выпадает число 1 или 3. Так как у игрального кубика 6 граней, то количество благоприятных исходов равно 2.

Вероятность успеха в одном броске:

p=2/6=1/3

Вероятность неудачи (выпадения любого другого числа: 2,4,5,6) в одном броске:

q=1-p=1-1/3=2/3

Событие A зависит от того, на каком именно броске впервые произойдёт успех. Дерево эксперимента можно представить как последовательность ветвей «неудача» (q) и «успех» (p).

Шаг 2. Пункт а) Ровно 2 броска

Чтобы потребовалось ровно 2 броска, первый бросок должен быть неудачным, а второй — успешным. Эти события независимы, поэтому их вероятности перемножаются.

Схема исхода: Неудача (q) → Успех (p).

P(A₁)=q·p=2/3·1/3=2/9

Переведём дробь в десятичную для сравнения с ключом:

2/9≈0,222

Шаг 3. Пункт б) Три или 4 броска

Здесь событие состоит из двух несовместных случаев: успех наступает ровно на 3-м броске ИЛИ ровно на 4-м броске. Мы вычислим вероятность каждого случая отдельно, а затем сложим результаты.

Случай 1: Ровно 3 броска. Последовательность: Неудача, Неудача, Успех. P(3)=q·q·p=(2/3)²·1/3=4/9·1/3=4/27

Случай 2: Ровно 4 броска. Последовательность: Неудача, Неудача, Неудача, Успех. P(4)=q·q·q·p=(2/3)³·1/3=8/27·1/3=8/81

Общая вероятность: Приведём дроби к общему знаменателю 81: P(A₂)=4/27+8/81=12/81+8/81=20/81

Десятичное значение:

20/81≈0,2469≈0,247

Шаг 4. Пункт в) Не более 2 бросков

«Не более 2 бросков» означает, что успех наступил либо на 1-м броске, либо на 2-м. Это сумма вероятностей этих двух событий.

Случай 1: Ровно 1 бросок. Успех сразу же. P(1)=p=1/3

Случай 2: Ровно 2 броска. Мы уже нашли эту вероятность в пункте а): P(2)=2/9.

Общая вероятность: P(A₃)=P(1)+P(2)=1/3+2/9=3/9+2/9=5/9

Десятичное значение:

5/9≈0,555...≈0,556

Шаг 5. Пункт г) Более 3 бросков

Событие «более 3 бросков» является противоположным событию «не более 3 бросков». То есть нам нужно найти вероятность того, что первые три броска оказались неудачными. Если первые три раза выпало «неудачно», то процесс гарантированно продолжится дальше (на 4-й бросок и далее).

Альтернативный способ через сумму противоположных событий: P(более 3)=1-P(не более 3). Но проще всего рассмотреть сам факт неудачи в первых трёх попытках.

Последовательность: Неудача, Неудача, Неудача. Четвёртый и последующие броски могут быть любыми, но условие «более 3 бросков» выполнено уже тем, что успех не пришёл в первых трёх.

P(A₄)=q·q·q=(2/3)³=8/27

Проверка методом дополнения: P(не более 3)=P(1)+P(2)+P(3)=1/3+2/9+4/27=9+6+4/27=19/27. Тогда P(более 3)=1-19/27=8/27.

Десятичное значение:

8/27≈0,2962...≈0,296

Ответ

а) 0,222

б) 0,247

в) 0,556

г) 0,296

Задача решается по формуле геометрического распределения (серия Бернулли до первого успеха). Вероятность успеха p=1/3, неудачи q=2/3. Для пункта 'а' считаем q*p. Для 'б' суммируем q^2*p и q^3*p. Для 'в' суммируем p и q*p. Для 'г' используем свойство противоположного события или просто вероятность трёх неудач подряд q^3.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 245 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 245?

Краткий ответ: а) 0,222 б) 0,247 в) 0,556 г) 0,296.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 25. Испытания. Серия испытаний до первого успеха.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.