10–11 классы Испытания. Серия испытаний до первого успеха § 25. Испытания. Серия испытаний до первого успеха

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 248: Испытания. Серия испытаний до первого успеха

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Никита Ершов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 247 249 →

Условие

При отправке СМС вероятность успеха при каждой попытке равна 0,25. Найти вероятность того, что СМС будет отправлено

а) с первой или со второй попытки

б) не позже чем при четвёртой попытке. Результат округлить до тысячных.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы рассматриваем серию независимых испытаний (отправку СМС), где вероятность успеха в каждом отдельном испытании постоянна и равна p=0,25. Нам нужно найти вероятности того, что успех наступит в определённый момент времени или до определённого момента.

Шаг 1. Разбор пункта а): отправка с первой или со второй попытки

Событие «СМС отправлено с первой или со второй попытки» означает, что успех наступил либо при первой попытке, либо при второй. Эти события несовместны (нельзя отправить сообщение одновременно и с первой, и со второй попытки как первое успешное).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Успех с первой попытки.
Вероятность этого события равна просто P₁=p=0,25.
Случай 2: Успех со второй попытки.
Для этого необходимо, чтобы первая попытка была неудачной, а вторая — успешной.
Вероятность неудачи одной попытки: q=1-p=1-0,25=0,75.
Так как испытания независимы, вероятность такой последовательности (Неудача, Успех) равна произведению вероятностей: P₂=q·p=0,75·0,25.
Вычислим: 0,75·0,25=0,1875.

Искомая вероятность для пункта а) есть сумма вероятностей этих двух случаев:

P(а)=P₁+P₂=0,25+0,1875=0,4375

Округляем результат до тысячных: 0,4375≈0,438.

Шаг 2. Разбор пункта б): отправка не позже чем при четвёртой попытке

Фраза «не позже чем при четвёртой попытке» означает, что успех наступил на 1-й, 2-й, 3-й или 4-й попытке. То есть нам нужно найти сумму вероятностей того, что первое успешное событие произошло именно в один из этих четырёх моментов.

Можно вычислять напрямую, просуммировав вероятности для каждой попытки, но удобнее использовать метод дополнения. Событие, противоположное «успех не позже 4-й попытки», это «не было ни одного успеха за первые 4 попытки» (то есть успех наступил только начиная с 5-й попытки или никогда).

Вероятность неудачи в одной попытке: q=0,75.

Вероятность того, что все 4 попытки подряд будут неудачными:

P(все 4 неудачи)=q⁴=0,75⁴

Вычислим степень:

0,75²=0,5625 0,75⁴=0,5625²≈0,31640625

Тогда вероятность успеха не позже 4-й попытки равна единице минус вероятность всех неудач:

P(б)=1-0,75⁴=1-0,31640625=0,68359375

Округляем результат до тысячных: 0,68359375≈0,684.

Шаг 3. Проверка расчётов для пункта б) прямым суммированием

Давайте убедимся в правильности метода дополнения, посчитав пункт б) через прямое сложение вероятностей успеха на 1, 2, 3 и 4 попытках.

P(1)=0,25
P(2)=0,75·0,25=0,1875
P(3)=0,75²·0,25=0,5625·0,25=0,140625
P(4)=0,75³·0,25=0,421875·0,25=0,10546875

Сумма:

S=0,25+0,1875+0,140625+0,10546875 S=0,4375+0,140625+0,10546875 S=0,578125+0,10546875=0,68359375

Результат совпадает с предыдущим вычислением. Округление даёт 0,684.

Ответ

а) 0,438

б) 0,684

Задача на геометрическое распределение (серия Бернулли до первого успеха). Для пункта а) используется формула полной вероятности для несовместных событий. Для пункта б) эффективнее использовать вероятность противоположного события (все попытки неудачны), так как это требует возведения в степень, а не сложения многих членов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 248 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 248?

Краткий ответ: а) 0,438 б) 0,684.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 25. Испытания. Серия испытаний до первого успеха.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.