ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 252: Серия независимых испытаний Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Проводится серия испытаний до первого успеха. Вероятность неудачи в одном испытании равна q. Выразите через q вероятность того, что для достижения успеха потребуется от k до n испытаний включительно (k<n).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче мы рассматриваем серию независимых испытаний Бернулли, которая прекращается в момент первого успеха. Нам нужно найти вероятность того, что этот первый успех произойдёт не ранее k-го и не позднее n-го испытания.
Шаг 1. Анализ условий задачи
Пусть q — вероятность неудачи в одном испытании. Тогда вероятность успеха в одном испытании равна p=1-q.
Событие «первый успех наступил в m-м испытании» означает, что первые m-1 испытаний были неудачными, а m-е испытание было успешным. Так как испытания независимы, вероятность такого события равна произведению вероятностей: P(X=m)=qm-1·p.
Нам требуется вычислить сумму вероятностей для всех возможных номеров испытаний от k до n включительно:
P(k≤X≤n)=∑nm=kP(X=m)=∑nm=kqm-1(1-q)Шаг 2. Вычисление суммы геометрической прогрессии
Вынесем множитель (1-q) за знак суммы:
P(k≤X≤n)=(1-q)∑nm=kqm-1Рассмотрим сумму S=∑nm=kqm-1. Это сумма членов геометрической прогрессии с первым членом b1=qk-1 и знаменателем q. Количество членов равно n-k+1.
По формуле суммы геометрической прогрессии SN=b11-qN/1-q, где N — количество членов, получаем:
S=qk-1·1-qn-k+1/1-qПодставим это выражение обратно в формулу для вероятности:
P(k≤X≤n)=(1-q)·(qk-1·1-qn-k+1/1-q)Шаг 3. Упрощение выражения
Множители (1-q) в числителе и знаменателе сокращаются (так как q<1, то 1-q≠0):
P(k≤X≤n)=qk-1·(1-qn-k+1)Раскроем скобки:
P(k≤X≤n)=qk-1-qk-1·qn-k+1При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
qk-1·qn-k+1=q(k-1)+(n-k+1)=qk-1+n-k+1=qnТаким образом, итоговая формула принимает вид:
P(k≤X≤n)=qk-1-qnШаг 4. Проверка результата альтернативным методом
Вероятность того, что первый успех наступит в интервале от k до n включительно, можно также представить как разность двух событий:
- Событие A: «Первый успех наступил не раньше k-го испытания». Это эквивалентно тому, что первые k-1 испытаний были неудачными. Вероятность этого события равна qk-1.
- Событие B: «Первый успех наступил не раньше (n+1)-го испытания». Это эквивалентно тому, что первые n испытаний были неудачными. Вероятность этого события равна qn.
Искомая вероятность того, что успех наступил именно на шагах от k до n, есть разность вероятностей этих событий (так как событие B является подмножеством события A):
P(AsetminusB)=P(A)-P(B)=qk-1-qnРезультаты совпадают, решение верно.
qk-1-qn
Задача решается через суммирование вероятностей геометрического распределения или через разность вероятностей накопленных неудач. Ключевой момент — понимание того, что условие 'от k до n' означает, что первые k-1 испытаний провалены, но уже к концу n-го испытания должен был случиться хотя бы один успех (в данном случае первый). Альтернативный метод проверки через P(X≥k)-P(X>n) более интуитивен и быстрее.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 252 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 252?
Краткий ответ: q^k-1 - q^n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.