ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 256: Серия независимых испытаний Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти количество элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли, благоприятствующих
а) 2 или 3 успехам
б) не более чем 3 успехам
в) не менее чем 3 успехам.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В серии из n независимых испытаний Бернулли каждое испытание имеет два исхода: успех или неудача. Количество элементарных событий (различных последовательностей исходов), в которых ровно k успехов, определяется числом сочетаний из n по k: Ckn=n!/k!(n-k)!
В данной задаче количество испытаний n=10. Нам нужно найти количество благоприятных элементарных событий для различных условий на число успехов k.
Шаг 1. Пункт а) Ровно 2 или ровно 3 успеха
Событие «2 или 3 успеха» означает, что число успехов k может быть равно 2 либо 3. Так как эти случаи не пересекаются, мы можем сложить количество способов получить 2 успеха и количество способов получить 3 успеха.
Вычислим число сочетаний для k=2:
C210=10!/2!8!=10·9/2·1=45Вычислим число сочетаний для k=3:
C310=10!/3!7!=10·9·8/3·2·1=10·3·4=120Общее количество благоприятных элементарных событий:
Na=C210+C310=45+120=165Шаг 2. Пункт б) Не более чем 3 успеха
Условие «не более чем 3 успеха» означает, что число успехов k может принимать значения 0,1,2 или 3. Необходимо просуммировать количество элементарных событий для каждого из этих случаев.
Мы уже вычислили C210=45 и C310=120. Теперь найдем C010 и C110.
Для k=0 (все испытания — неудачи):
C010=1Для k=1 (один успех, девять неудач):
C110=10Суммируем все варианты:
Nb=C010+C110+C210+C310=1+10+45+120 Nb=11+45+120=56+120=176Шаг 3. Пункт в) Не менее чем 3 успеха
Условие «не менее чем 3 успеха» означает, что число успехов k может быть любым от 3 до 10 включительно (k∈{3,4,…,10}).
Прямое суммирование всех этих значений было бы долгим. Удобнее использовать метод дополнения. Общее количество всех возможных элементарных событий в серии из 10 испытаний равно 210.
210=1024Количество событий с «менее чем 3 успеха» (то есть k=0,1,2) мы уже частично нашли в пункте б). Это сумма C010+C110+C210.
N<3=1+10+45=56Тогда количество событий с «не менее чем 3 успеха» равно общему числу событий минус число событий с менее чем 3 успехами:
Nc=210-N<3=1024-56Выполним вычитание:
1024-56=968Проверка:
- Для пункта а): 45+120=165. Верно.
- Для пункта б): 1+10+45+120=176. Верно.
- Для пункта в): 1024-56=968. Также можно проверить симметрией: сумма биномиальных коэффициентов равна 2n. Сумма C010+C110+C210=56. Значит, остаток 1024-56=968. Верно.
а) 165
б) 176
в) 968
Использованы формулы числа сочетаний Ckn. Для пункта в) применен метод дополнения к общему числу исходов 2n, так как прямое суммирование C310+…+C1010 трудоемко.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 256 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 256?
Краткий ответ: а) 165 б) 176 в) 968.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.