10–11 классы Серия независимых испытаний Бернулли § 26. Серия независимых испытаний Бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 260: Серия независимых испытаний Бернулли

Q: Это точный номер 260 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 260?

Краткий ответ: а) 0,234; б) 0,313; в) 0,344; г) 0,656.

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Артём Савельев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 259 261 →

Условие

Монету бросили 6 раз. Найдите вероятность того, что выпадет

а) ровно 2 орла

б) орлов столько же, сколько решек

в) орлов меньше, чем решек

г) орлов не меньше, чем решек.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы имеем дело с серией независимых испытаний Бернулли. Каждый бросок монеты — это испытание, в котором возможны два исхода: «орёл» (успех) или «решка» (неудача). Вероятность выпадения орла p и решки q равны между собой и составляют 0,5. Общее число испытаний n=6.

Для вычисления вероятности того, что событие наступит ровно k раз за n испытаний, используем формулу Бернулли:

P_n(k)=Cknp^kq^n-k

Так как p=q=0,5, то произведение p^kq^n-k всегда равно (0,5)ⁿ=1/2ⁿ. При n=6 знаменатель равен 2⁶=64. Таким образом, вероятность упрощается до вида:

P₆(k)=Ck6/64

Шаг 1. Пункт а) Ровно 2 орла

Нам нужно найти вероятность того, что орёл выпадет ровно k=2 раза. Подставим значения в формулу:

P₆(2)=C26/64

Вычислим биномиальный коэффициент C26:

C26=6!/2!(6-2)!=6·5/2·1=15

Теперь найдем вероятность:

P₆(2)=15/64=0,234375

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем ответ из ключа.

Шаг 2. Пункт б) Орлов столько же, сколько решек

Если всего бросков 6, и количество орлов равно количеству решек, то орлов должно быть k=3, а решек тоже 3. Ищем вероятность для k=3:

P₆(3)=C36/64

Вычислим C36:

C36=6!/3!3!=6·5·4/3·2·1=20

Вероятность:

P₆(3)=20/64=5/16=0,3125

Округляем до 0,313.

Шаг 3. Пункт в) Орлов меньше, чем решек

Условие «орлов меньше, чем решек» означает, что количество орлов k может принимать значения 0,1 или 2 (так как при k=3 они равны, а при k>3 орлов больше). Нам нужно просуммировать вероятности этих случаев:

P(k<3)=P₆(0)+P₆(1)+P₆(2)

Рассчитаем каждое слагаемое:

P₆(0)=C06/64=1/64
P₆(1)=C16/64=6/64
P₆(2)=C26/64=15/64 (уже вычислено в п. а)

Сумма:

P(k<3)=1+6+15/64=22/64=11/32=0,34375

Округляем до 0,344.

Шаг 4. Пункт г) Орлов не меньше, чем решек

Событие «орлов не меньше, чем решек» является противоположным событию «орлов меньше, чем решек». То есть сюда входят случаи, когда орлов 3,4,5 или 6. Мы можем либо просуммировать эти вероятности, либо воспользоваться свойством противоположных событий:

P(k≥3)=1-P(k<3)

Используя результат пункта в):

P(k≥3)=1-0,34375=0,65625

Проверим прямым подсчётом для уверенности:

P₆(3)=20/64
P₆(4)=C46/64=15/64
P₆(5)=C56/64=6/64
P₆(6)=C66/64=1/64

Сумма: 20+15+6+1/64=42/64=0,65625.

Округляем до 0,656.

Ответ

а) 0,234

б) 0,313

в) 0,344

г) 0,656.

Задача на применение формулы Бернулли. Ключевые моменты: определение параметров n=6, p=0.5; правильный перевод словесных условий ('меньше', 'не меньше') в диапазон значений k; использование свойства симметрии биномиального распределения или суммы противоположных событий для упрощения вычислений в пунктах в и г.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 260 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 260?

Краткий ответ: а) 0,234; б) 0,313; в) 0,344; г) 0,656.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.