ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 258: Серия независимых испытаний Бернулли
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В серии n испытаний Бернулли, n≥10. Выразите число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению
а) от 1 до 3 успехов
б) не более 2 успехов
в) менее 3 неудач.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение задачи № 258
В серии из n независимых испытаний Бернулли каждое испытание имеет два исхода: успех или неудача. Полное число элементарных событий (исходов) в такой серии равно 2n. Однако нас интересует количество исходов, содержащих определённое число успехов.
Число исходов, в которых ровно k успехов, определяется биномиальным коэффициентом nk=Ckn, который показывает, сколькими способами можно выбрать k позиций для успехов из n возможных. Формула для вычисления: Ckn=n!/k!(n-k)!
Шаг 1. Пункт а): от 1 до 3 успехов
Нам нужно найти сумму числа исходов с 1, 2 и 3 успехами. То есть вычислить C1n+C2n+C3n.
- Для k=1: C1n=n!/1!(n-1)!=n
- Для k=2: C2n=n!/2!(n-2)!=n(n-1)/2
- Для k=3: C3n=n!/3!(n-3)!=n(n-1)(n-2)/6
Сложим полученные выражения:
Sa=n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6Приведём к общему знаменателю 6:
Sa=6n+3n(n-1)+n(n-1)(n-2)/6Раскроем скобки в числителе:
6n+3n2-3n+n(n2-3n+2)=6n+3n2-3n+n3-3n2+2nСгруппируем подобные слагаемые:
n3+(3n2-3n2)+(6n-3n+2n)=n3+5nТаким образом, ответ для пункта а):
n3+5n/6Шаг 2. Пункт б): не более 2 успехов
«Не более 2 успехов» означает, что число успехов может быть 0, 1 или 2. Нам нужно вычислить сумму C0n+C1n+C2n.
- Для k=0: C0n=1 (один исход — все неудачи)
- Для k=1: C1n=n
- Для k=2: C2n=n(n-1)/2
Суммируем:
Sb=1+n+n(n-1)/2Приведём к общему знаменателю 2:
Sb=2+2n+n2-n/2=n2+n+2/2Ответ для пункта б):
n2+n+2/2Шаг 3. Пункт в): менее 3 неудач
Если в серии n испытаний произошло m неудач, то число успехов равно n-m. Условие «менее 3 неудач» означает, что число неудач m может принимать значения 0, 1 или 2.
Это эквивалентно тому, что число успехов k принимает значения n,n-1,n-2 соответственно.
Используем свойство симметрии биномиальных коэффициентов: Ckn=Cn-kn.
- 0 неудач (n успехов): Cnn=C0n=1
- 1 неудача (n-1 успехов): Cn-1n=C1n=n
- 2 неудачи (n-2 успехов): Cn-2n=C2n=n(n-1)/2
Сумма этих случаев идентична сумме из пункта б):
Sc=1+n+n(n-1)/2=n2+n+2/2Ответ для пункта в):
n2+n+2/2а) n3+5n/6
б) n2+n+2/2
в) n2+n+2/2
Задача требует применения формул комбинаторики (сочетаний) для подсчёта благоприятных исходов в схеме Бернулли. Ключевые моменты: 1) Число исходов с k успехами равно C(n, k). 2) Для пункта а) суммируются C(n,1), C(n,2), C(n,3). 3) Для пункта б) суммируются C(n,0), C(n,1), C(n,2). 4) Для пункта в) используется симметрия: 'менее 3 неудач' это то же самое, что 'не более 2 успехов' по структуре комбинаций (или через переход к числу успехов n-m). Алгебраические преобразования приведены подробно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 258 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 258?
Краткий ответ: а) n^3+5n6 б) n^2+n+22 в) n^2+n+22.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Серия независимых испытаний Бернулли.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.