ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 334
Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Случайная величина X имеет математическое ожидание a. Докажите, что математическое ожидание случайной величины Y=X также равно a.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется доказать свойство математического ожидания для линейного преобразования случайной величины. Хотя условие содержит опечатку (Y=X вместо более общего Y=aX+b или просто тривиального случая), мы будем строго следовать тексту: докажем, что если Y совпадает с X, то их математические ожидания равны.
Шаг 1. Определение математического ожидания
Пусть дискретная случайная величина X принимает значения x1,x2,…,xn с соответствующими вероятностями p1,p2,…,pn. По определению, математическое ожидание M(X) вычисляется как сумма произведений значений на их вероятности:
M(X)=∑ni=1xipiПо условию задачи нам дано, что это значение равно константе a:
M(X)=aШаг 2. Анализ случайной величины Y
Случайная величина Y задана равенством Y=X. Это означает, что в каждом элементарном исходе значение Y точно такое же, как и значение X. Следовательно, множество возможных значений Y совпадает с множеством значений X: yi=xi для всех i от 1 до n. Вероятности этих значений также остаются неизменными, так как событие (Y=yi) тождественно событию (X=xi):
P(Y=yi)=P(X=xi)=piШаг 3. Вычисление математического ожидания Y
Запишем формулу для математического ожидания величины Y:
M(Y)=∑ni=1yiP(Y=yi)Подставим найденные связи yi=xi и P(Y=yi)=pi:
M(Y)=∑ni=1xipiМы видим, что полученное выражение идентично выражению для M(X) из Шага 1. Поскольку по условию M(X)=a, то и сумма равна a.
Шаг 4. Вывод
Таким образом, мы показали, что:
M(Y)=M(X)=aЧто и требовалось доказать. Математическое ожидание случайной величины Y, тождественно равной X, также равно a.
Доказательство
а) По определению M(X)=∑xipi=a.
б) Так как Y=X, то yi=xi и pYi=pXi.
в) Тогда M(Y)=∑yipYi=∑xipi=M(X)=a. Вывод: M(Y)=a.
Задача является тривиальным следствием определения математического ожидания. Важно подчеркнуть, что тождественное равенство случайных величин влечёт за собой равенство их распределений, а значит, и равенство числовых характеристик.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 334 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 334?
Краткий ответ: Доказательство: 1. По определению M(X) = x_i p_i = a. 2. Так как Y=X, то y_i=x_i и p_i^Y=p_i^X. 3. Тогда M(Y) = y_i p_i^Y = x_i p_i = M(X) = a. Вывод: M(Y)=a.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 31. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.