ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 335
Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что если распределение случайной величины X симметрично относительно числа a, то EX=a.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства утверждения о математическом ожидании симметричной случайной величины необходимо использовать определение математического ожидания и свойства симметрии распределения вероятностей.
Шаг 1. Определение симметричного распределения
Пусть дискретная случайная величина X принимает значения x1,x2,…,xn с соответствующими вероятностями p1,p2,…,pn. Говорят, что распределение этой величины симметрично относительно числа a, если для любого возможного значения xi существует значение xj такое, что:
xi+xj=2a или xj=2a-xi,при этом вероятности этих значений равны: P(X=xi)=P(X=xj).
Если само число a является возможным значением величины X, то оно соответствует себе (xk=a), и его вероятность может быть любой, но в сумме все остальные пары будут симметричны относительно него.
Шаг 2. Формула математического ожидания
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
EX=∑ni=1xipi.Нам нужно доказать, что эта сумма равна a.
Шаг 3. Группировка слагаемых по симметрии
Разобьем множество всех возможных значений X на группы:
- Группа пар (xi,xj), где xi≠xj и они симметричны относительно a. Для такой пары выполняется условие xj=2a-xi и pi=pj=p.
- Возможное одиночное значение xk=a (если a входит в диапазон значений). В этом случае pk — вероятность того, что X=a.
Рассмотрим вклад одной симметричной пары (xi,xj) в сумму математического ожидания:
xipi+xjpj=xip+(2a-xi)p=p(xi+2a-xi)=2ap.Шаг 4. Суммирование по всем элементам
Пусть всего у нас есть m таких симметричных пар и одно центральное значение a (если оно есть). Тогда полная сумма вероятностей равна единице:
∑mk=1(pik+pjk)+pa=1, где pa — вероятность значения a (если a не входит в множество значений, то pa=0).Так как в каждой паре pik=pjk, обозначим их общую вероятность через 2pk. Тогда:
∑mk=12pk+pa=1.Теперь запишем математическое ожидание, используя результат из Шага 3 для пар и добавив член для центрального значения:
EX=∑mk=1(xikpik+xjkpjk)+a·pa. EX=∑mk=12apk+apa.Вынесем a за скобки:
EX=a(∑mk=12pk+pa).Из условия нормировки вероятностей мы знаем, что выражение в скобках равно 1:
∑mk=12pk+pa=1.Шаг 5. Итоговый вывод
Подставляя единицу вместо суммы вероятностей, получаем:
EX=a·1=a.Таким образом, доказано, что если распределение случайной величины X симметрично относительно числа a, то её математическое ожидание равно этому числу.
Доказательство приведено в решении.
В решении использован стандартный подход к доказательству свойств математического ожидания для дискретных величин. Ключевым моментом является разбивка суммы на симметричные пары и возможный центральный элемент. Важно подчеркнуть, что сумма вероятностей всех элементов равна 1, что позволяет вынести множитель a.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 335 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 335?
Краткий ответ: Доказательство приведено в решении.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 31. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.