10–11 классы Совместное распределение двух случайных величин § 32. Совместное распределение двух случайных величин

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 347: Совместное распределение двух случайных величин

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 346 348 →

Условие

В таблице 30 дано совместное распределение двух случайных величин X и Y.

а) Найти распределение каждой из них.

б) Найти условное распределение X при условии Y=0.

в) Найти условное распределение Y при условии X=1. Данные таблицы 30: строки X: 0 (4/9; 2/9; 1/36), 1 (2/9; 1/18; 0), 2 (1/36; 0; 0); столбцы Y: 0, 1, 2.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи проанализируем данную таблицу совместного распределения вероятностей случайных величин X и Y. Строки соответствуют значениям X∈{0,1,2}, а столбцы — значениям Y∈{0,1,2}. Элементы таблицы p_ij=P(X=x_i,Y=y_j):

X\Y	0	1	2
0	4/9	2/9	1/36
1	2/9	1/18	0
2	1/36	0	0

Шаг 1. Нахождение маргинальных распределений (пункт а)

Чтобы найти распределение величины X, нужно просуммировать вероятности по каждой строке. Аналогично, для распределения Y суммируем вероятности по каждому столбцу.

Распределение X:

P(X=0)=4/9+2/9+1/36=16/36+8/36+1/36=25/36;
P(X=1)=2/9+1/18+0=4/18+1/18=5/18=10/36;
P(X=2)=1/36+0+0=1/36.

Проверка: 25/36+10/36+1/36=36/36=1. Верно.

Распределение Y:

P(Y=0)=4/9+2/9+1/36=16/36+8/36+1/36=25/36;
P(Y=1)=2/9+1/18+0=4/18+1/18=5/18=10/36;
P(Y=2)=1/36+0+0=1/36.

Проверка: сумма равна 1. Распределения совпадают из-за симметрии таблицы относительно главной диагонали (кроме нулей, которые не влияют на суммы в данном случае).

Шаг 2. Условное распределение X при условии Y=0 (пункт б)

Формула условной вероятности: P(X=x_i|Y=y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)/P(Y=y_j).

Из пункта а мы знаем, что P(Y=0)=25/36.

Вычислим вероятности для каждого значения X при фиксированном Y=0:

P(X=0|Y=0)=P(X=0,Y=0)/P(Y=0)=4/9/25/36=16/36/25/36=16/25;
P(X=1|Y=0)=P(X=1,Y=0)/P(Y=0)=2/9/25/36=8/36/25/36=8/25;
P(X=2|Y=0)=P(X=2,Y=0)/P(Y=0)=1/36/25/36=1/25.

Проверка: 16/25+8/25+1/25=25/25=1. Верно.

Шаг 3. Условное распределение Y при условии X=1 (пункт в)

Используем формулу: P(Y=y_j|X=x_i)=P(X=x_i,Y=y_j)/P(X=x_i).

Из пункта а известно, что P(X=1)=5/18.

Вычислим вероятности для каждого значения Y при фиксированном X=1:

P(Y=0|X=1)=P(X=1,Y=0)/P(X=1)=2/9/5/18=4/18/5/18=4/5=0,8;
P(Y=1|X=1)=P(X=1,Y=1)/P(X=1)=1/18/5/18=1/5=0,2;
P(Y=2|X=1)=P(X=1,Y=2)/P(X=1)=0/5/18=0.

Проверка: 0,8+0,2+0=1. Верно.

Ответ

а)

0	1	2
\frac{25}{36}	\frac{5}{18}	\frac{1}{36}

0	1	2
\frac{25}{36}	\frac{5}{18}	\frac{1}{36}

б)

0	1	2
\frac{16}{25}	\frac{8}{25}	\frac{1}{25}

в)

0	1	2
0{,}8	0{,}2	0

В условии дана таблица с дробями. Для удобства вычислений все дроби приведены к общему знаменателю или использованы свойства деления дробей. В пункте а) показано, что маргинальные распределения X и Y идентичны. В пунктах б) и в) применена стандартная формула условной вероятности через отношение совместной вероятности к вероятности условия.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 347 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 347?

Краткий ответ: а) X pmatrix 0 & 1 & 2 \\ 2536 & 518 & 136 pmatrix, Y pmatrix 0 & 1 & 2 \\ 2536 & 518 & 136 pmatrix б) X pmatrix 0 & 1 & 2 \\ 1625 & 825 & 125 pmatrix в) Y pmatrix 0 & 1 & 2 \\ 0,8 & 0,2 & 0 pmatrix.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.