10–11 классы Совместное распределение двух случайных величин § 32. Совместное распределение двух случайных величин

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 348: Совместное распределение двух случайных величин

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 347 349 →

Условие

Дано совместное распределение случайных величин X и Y (таблица 31). Составить распределение случайной величины

а) X+Y

б) X-Y. Данные таблицы 31: строки X: 0 (0,05; 0,15; 0,05), 1 (0,1; 0,2; 0,15), 2 (0,1; 0,15; 0,05); столбцы Y: 0, 1, 2.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи нам необходимо использовать данные совместного распределения случайных величин X и Y. Сначала восстановим таблицу вероятностей по условию:

X\Y	0	1	2
0	0,05	0,15	0,05
1	0,10	0,20	0,15
2	0,10	0,15	0,05

Шаг 1. Составление закона распределения суммы Z=X+Y (пункт а)

Найдем все возможные значения величины X+Y. Так как X∈{0,1,2} и Y∈{0,1,2}, то минимальное значение суммы равно 0+0=0, а максимальное — 2+2=4. Возможные значения: 0,1,2,3,4.

Вычислим вероятность каждого значения, суммируя вероятности всех пар (x_i,y_j), для которых x_i+y_j равно данному значению:

P(X+Y=0) : единственная пара (0;0). Вероятность равна 0,05.
P(X+Y=1) : пары (0;1) и (1;0). Сумма вероятностей: 0,15+0,10=0,25.
P(X+Y=2) : пары (0;2), (1;1) и (2;0). Сумма вероятностей: 0,05+0,20+0,10=0,35.
P(X+Y=3) : пары (1;2) и (2;1). Сумма вероятностей: 0,15+0,15=0,30.
P(X+Y=4) : единственная пара (2;2). Вероятность равна 0,05.

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1. 0,05+0,25+0,35+0,30+0,05=1,00 Условие выполнено.

Итак, закон распределения X+Y имеет вид:

X+Y	0	1	2	3	4
P	0,05	0,25	0,35	0,30	0,05

Шаг 2. Составление закона распределения разности W=X-Y (пункт б)

Найдем все возможные значения величины X-Y. Минимальное значение: 0-2=-2. Максимальное значение: 2-0=2. Возможные значения: -2,-1,0,1,2.

Вычислим вероятность каждого значения, суммируя вероятности всех пар (x_i,y_j), для которых x_i-y_j равно данному значению:

P(X-Y=-2) : единственная пара (0;2). Вероятность равна 0,05.
P(X-Y=-1) : пары (0;1) и (1;2). Сумма вероятностей: 0,15+0,15=0,30.
P(X-Y=0) : пары (0;0), (1;1) и (2;2). Сумма вероятностей: 0,05+0,20+0,05=0,30.
P(X-Y=1) : пары (1;0) и (2;1). Сумма вероятностей: 0,10+0,15=0,25.
P(X-Y=2) : единственная пара (2;0). Вероятность равна 0,10.

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1. 0,05+0,30+0,30+0,25+0,10=1,00 Условие выполнено.

Итак, закон распределения X-Y имеет вид:

X-Y	-2	-1	0	1	2
P	0,05	0,30	0,30	0,25	0,10

Ответ

а)

0	1	2	3	4
0{,}05	0{,}25	0{,}35	0{,}30	0{,}05

б)

-2	-1	0	1	2
0{,}05	0{,}30	0{,}30	0{,}25	0{,}10

Решение построено на прямом подсчете вероятностей для каждой возможной реализации функции от двух случайных величин. Для суммы X+Y группируем ячейки таблицы с одинаковой суммой индексов строк и столбцов. Для разности X-Y группируем ячейки с одинаковой разностью индексов. Все вычисления проверены на нормировку (сумма вероятностей равна 1).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 348 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 348?

Краткий ответ: а) X+Y pmatrix 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0,05 & 0,25 & 0,35 & 0,30 & 0,05 pmatrix б) X-Y pmatrix -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0,05 & 0,30 & 0,30 & 0,25 & 0,10 pmatrix.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.