ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 353: Совместное распределение двух случайных величин
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Сергей Мишин, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросают дважды. Пусть X — количество выпавших единиц, а Y — число очков, выпавшее при первом броске. Являются ли эти случайные величины независимыми?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы проверить независимость случайных величин X и Y, нужно убедиться, что для всех возможных пар значений (xi,yj) выполняется равенство P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)·P(Y=yj). Если хотя бы для одной пары это равенство нарушается, величины зависимы.
Шаг 1. Определение пространства элементарных исходов
Игральный кубик бросают дважды. Всего возможных исходов: 6·6=36. Все они равновероятны, вероятность каждого конкретного исхода равна 1/36.
Обозначим результат первого броска как R1, а второго — как R2. Тогда:
- Y=R1 (число очков при первом броске).
- X=[R1=1]+[R2=1] (количество единиц за два броска), где [A] — индикатор события A.
Шаг 2. Распределение величины Y
Величина Y принимает значения 1,2,3,4,5,6. Поскольку первый бросок симметричен относительно всех граней, вероятности распределены равномерно:
P(Y=k)=6/36=1/6, k∈{1,2,3,4,5,6}.Шаг 3. Распределение величины X
Величина X может принимать значения 0,1,2. Найдём их вероятности:
- X=0: ни в одном из бросков не выпала единица. Вариантов для R1: 5 (не 1), для R2: 5 (не 1). Итого 5·5=25 исходов. P(X=0)=25/36.
- X=1: ровно одна единица. Либо R1=1,R2≠1 (1·5=5 исходов), либо R1≠1,R2=1 (5·1=5 исходов). Итого 10 исходов. P(X=1)=10/36=5/18.
- X=2: обе единицы. Только один исход (1,1). P(X=2)=1/36.
Шаг 4. Проверка условия независимости на конкретном примере
Рассмотрим пару значений X=2 и Y=1.
Событие {X=2} означает, что выпали две единицы, то есть исход строго (1,1). В этом случае Y (результат первого броска) обязательно равен 1. Следовательно, событие {X=2Y=1 совпадает с событием {X=2}.
Вероятность совместного наступления:
P(X=2,Y=1)=P(исход (1,1))=1/36.Теперь вычислим произведение маргинальных вероятностей:
P(X=2)·P(Y=1)=1/36·1/6=1/216.Сравним результаты:
1/36≠1/216.Так как равенство не выполняется, случайные величины X и Y не являются независимыми .
Шаг 5. Интуитивное объяснение
Знание значения Y (первого броска) меняет наши ожидания относительно X. Например, если мы знаем, что Y=1, то вероятность того, что X=2 (выпало две единицы), становится равной 1/6 (так как второй бросок должен быть единицей), тогда как без знания Y эта вероятность была 1/36. Зависимость очевидна.
Нет
Для доказательства зависимости достаточно привести один контрпример. Мы выбрали крайний случай X=2, который полностью определяет Y=1.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 353 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 353?
Краткий ответ: Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.