ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 349: Совместное распределение двух случайных величин
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросили 3 раза, в сумме выпало 16 очков. Случайная величина X — число, выпавшее при первом броске, Y — число, выпавшее при втором броске.
а) Составить таблицу совместного распределения этих случайных величин.
б) Составить распределение каждой из величин X и Y.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче мы рассматриваем условное распределение двух случайных величин X и Y. Условием является то, что сумма очков при трёх бросках кубика равна 16. Обозначим результат третьего броска как Z. Тогда справедливо равенство X+Y+Z=16, откуда следует, что Z=16-(X+Y).
Так как X,Y,Z — результаты бросков игрального кубика, они могут принимать только целые значения от 1 до 6 включительно. Нам нужно найти все пары (x,y), для которых соответствующее значение z также попадает в диапазон [1;6].
Шаг 1. Определение возможных значений суммы X+Y
Из условия 1≤z≤6 и равенства z=16-(x+y) получаем неравенства:
1≤16-(x+y)≤6Вычтем 16 из всех частей:
-15≤-(x+y)≤-10Умножим на -1 и изменим знаки неравенств на противоположные:
10≤x+y≤15Также помним, что максимальная сумма двух костей x+y не может превышать 6+6=12. Следовательно, реальным диапазоном сумм x+y является 10≤x+y≤12.
Шаг 2. Перебор пар (x,y) и вычисление вероятностей
Найдём все возможные пары (x,y), где x,y∈{1,2,3,4,5,6}, такие что их сумма лежит в диапазоне [10;12]. Для каждой такой пары существует ровно одно значение z, удовлетворяющее условию задачи (z=16-x-y). Поскольку каждый исход тройки (x,y,z) равновероятен при условии фиксированной суммы, вероятность конкретной пары (x,y) пропорциональна количеству способов получить эту пару с подходящим z. В данном случае для каждой допустимой пары (x,y) существует единственный z, значит, все допустимые пары равновероятны.
Перечислим допустимые пары:
- Если x+y=10: возможны пары (4,6),(5,5),(6,4). При этом z=16-10=6 (допустимо).
- Если x+y=11: возможны пары (5,6),(6,5). При этом z=16-11=5 (допустимо).
- Если x+y=12: возможна пара (6,6). При этом z=16-12=4 (допустимо).
Итого всего допустимых исходов: 3+2+1=6.
Вероятность каждого конкретного исхода (x,y) равна 1/6. Если пара невозможна, её вероятность равна 0.
Шаг 3. Составление таблицы совместного распределения (пункт а)
Построим таблицу, где по строкам расположены значения X, по столбцам — значения Y. На пересечении запишем P(X=x,Y=y).
| X\Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/6 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1/6 | 1/6 |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Проверка: сумма всех вероятностей в таблице должна быть равна 1. 3·1/6+2·1/6+1·1/6=6/6=1. Верно.
Шаг 4. Распределение величины X (пункт б)
Чтобы найти маргинальное распределение X, просуммируем вероятности по строкам таблицы совместного распределения.
- P(X=1)=0
- P(X=2)=0
- P(X=3)=0
- P(X=4)=P(4,6)=1/6
- P(X=5)=P(5,5)+P(5,6)=1/6+1/6=2/6=1/3
- P(X=6)=P(6,4)+P(6,5)+P(6,6)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2
Таблица распределения X:
| xi | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| P(X=xi) | 1/6 | 1/3 | 1/2 |
Шаг 5. Распределение величины Y (пункт б)
Аналогично найдём маргинальное распределение Y, суммируя вероятности по столбцам. Заметим симметрию задачи относительно X и Y (условие X+Y+Z=16 симметрично для первых двух переменных, если рассматривать их роли одинаково, хотя здесь важно лишь то, что Z определяется через сумму). Проверим расчётом:
- P(Y=1)=0
- P(Y=2)=0
- P(Y=3)=0
- P(Y=4)=P(6,4)=1/6
- P(Y=5)=P(5,5)+P(6,5)=1/6+1/6=2/6=1/3
- P(Y=6)=P(4,6)+P(5,6)+P(6,6)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2
Таблица распределения Y:
| yj | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| P(Y=yj) | 1/6 | 1/3 | 1/2 |
а) Таблица совместного распределения содержит ненулевые вероятности 1/6 в ячейках (4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6).
б) Распределение X: P(X=4)=1/6,P(X=5)=1/3,P(X=6)=1/2. Распределение Y: P(Y=4)=1/6,P(Y=5)=1/3,P(Y=6)=1/2.
Задача решается методом перебора допустимых исходов при заданном условии (сумма очков равна 16). Ключевой момент — определение диапазона сумм X+Y через ограничения на третью переменную Z. Все допустимые пары (X,Y) оказываются равновероятными внутри данного подпространства событий.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 349 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 349?
Краткий ответ: а) Таблица совместного распределения содержит ненулевые вероятности 16 в ячейках (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). б) Распределение X: P(X=4)= 16, P(X=5)= 13, P(X=6)= 12. Распределение Y: P(Y=4)= 16, P(Y=5)= 13, P(Y=6)= 12.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.