ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 351: Совместное распределение двух случайных величин

При бросании игрального кубика дважды общее количество равновероятных исходов составляет 6·6=36. Каждый исход — это пара чисел (a,b), где a — результат первого броска, b — результат второго.

Случайная величина X принимает значения от 1 до 6 (наибольшее число очков). Случайная величина Y также принимает значения от 1 до 6 (наименьшее число очков).

Рассмотрим конкретные значения, например, X=6 и Y=1.

Найдем вероятность того, что наибольшее выпавшее число равно 6, то есть P(X=6).

Событие X<6 означает, что оба броска дали числа меньше 6 (от 1 до 5). Количество таких исходов: 5·5=25. Тогда количество исходов, где максимальное значение ровно 6, равно общему числу исходов минус исходы с максимумом меньше 6: 36-25=11. Таким образом, P(X=6)=11/36.

Аналогично найдем вероятность того, что наименьшее выпавшее число равно 1, то есть P(Y=1).

Событие Y>1 означает, что оба броска дали числа больше 1 (от 2 до 6). Количество таких исходов: 5·5=25. Тогда количество исходов, где минимальное значение ровно 1, равно 36-25=11. Таким образом, P(Y=1)=11/36.

Теперь найдем совместную вероятность события {X=6Y=1. Это означает, что в двух бросках одно число равно 6, а другое равно 1 (так как если бы оба были 6, то минимум был бы 6, а не 1; если бы оба были 1, то максимум был бы 1, а не 6). Подходящие исходы: (6,1) и (1,6). Всего 2 благоприятных исхода. Следовательно, P(X=6,Y=1)=2/36=1/18.

Проверим условие независимости: P(X=6)·P(Y=1)=11/36·11/36=121/1296 Сравним с совместной вероятностью: P(X=6,Y=1)=1/18=72/1296 Очевидно, что 121/1296≠72/1296.

Поскольку равенство P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)·P(Y=y_j) не выполняется для пары значений X=6 и Y=1, случайные величины X и Y являются зависимыми.

Интуитивно это понятно: знание о том, что наибольшее число было очень большим (например, 6), ограничивает возможные значения наименьшего числа, и наоборот. Они не могут быть независимыми, так как связаны одним и тем же экспериментом.