ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 352: Совместное распределение двух случайных величин
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Светлана Крылова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Симметричную монету бросают 3 раза. Пусть X — число выпавших орлов, а Y — число решек. Независимы ли эти случайные величины?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы проверить независимость случайных величин X и Y, необходимо сравнить вероятности их совместного появления с произведением их маргинальных (частных) вероятностей. Если хотя бы для одной пары значений (xi,yj) равенство P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)·P(Y=yj) не выполняется, то величины зависимы.
Шаг 1. Определение пространства элементарных исходов
Бросаем симметричную монету 3 раза. Общее число возможных исходов равно 23=8. Все исходы равновероятны, вероятность каждого равна 1/8.
Запишем все исходы в виде последовательностей орлов (О) и решек (Р):
- ООО (X=3,Y=0)
- ООР (X=2,Y=1)
- ОРО (X=2,Y=1)
- ОРР (X=1,Y=2)
- РОО (X=2,Y=1)
- РОР (X=1,Y=2)
- РРО (X=1,Y=2)
- РРР (X=0,Y=3)
Шаг 2. Нахождение распределения величины X
X — число выпавших орлов. Возможные значения: 0,1,2,3.
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=xi) | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 |
Например, P(X=1)=3/8, так как есть три исхода с одним орлом: ОРР, РОР, РРО.
Шаг 3. Нахождение распределения величины Y
Y — число выпавших решек. Возможные значения: 0,1,2,3.
| yj | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(Y=yj) | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 |
Заметим, что распределение Y совпадает с распределением X из-за симметрии монеты.
Шаг 4. Проверка условия независимости
Величины независимы, если для всех пар (xi,yj) выполняется:
P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)·P(Y=yj)Проверим это условие на конкретном примере. Возьмём событие X=3 (выпало 3 орла).
Если X=3, то все броски дали орла, значит, решек быть не может. Следовательно, при X=3 значение Y обязательно равно 0.
Рассмотрим пару значений x1=3 и y1=1:
- Совместная вероятность P(X=3,Y=1)=0, так как невозможно одновременно получить 3 орла и 1 решку при 3 бросках.
- Произведение частных вероятностей: P(X=3)·P(Y=1)=1/8·3/8=3/64.
Так как 0≠3/64, условие независимости нарушается.
Шаг 5. Логический вывод
Между величинами X и Y существует жёсткая функциональная связь: X+Y=3. Знание значения одной величины полностью определяет значение другой. Например, если мы узнали, что X=2, то мы точно знаем, что Y=1. Это означает, что события, связанные с X, влияют на вероятности событий, связанных с Y. Такие величины называются зависимыми.
Нет
В условии дана классическая задача на проверку независимости дискретных случайных величин. Ключевой момент: сумма X+Y постоянна (равна числу испытаний), что делает величины строго зависимыми. Решение построено через контрпример: проверка равенства P(X, Y)=P(X)P(Y) для конкретной пары значений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 352 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 352?
Краткий ответ: Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.