10–11 классы Совместное распределение двух случайных величин § 32. Совместное распределение двух случайных величин

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 357: Совместное распределение двух случайных величин

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 356 358 →

Условие

Случайные величины X и Y независимы, каждая из них — результат случайного выбора натурального числа из отрезка от 1 до 9. a) Постройте совместное распределение случайных величин X и Y. б) Постройте распределение случайной величины Z=max(X,Y).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы работаем с двумя независимыми дискретными случайными величинами X и Y. Каждая из них принимает значения из множества натуральных чисел от 1 до 9. Поскольку выбор равновероятен, вероятность каждого конкретного исхода для одной величины равна 1/9. Нам нужно найти совместное распределение (X,Y) и распределение новой величины Z= extmax(X,Y).

Шаг 1. Построение совместного распределения величин X и Y

Так как случайные величины X и Y независимы, вероятность того, что X примет значение a, а Y — значение b, равна произведению их частных вероятностей:

P(X=a,Y=b)=P(X=a)·P(Y=b)

Известно, что P(X=a)=1/9 и P(Y=b)=1/9 для любых a,b∈{1,2,…,9}. Следовательно:

P(X=a,Y=b)=1/9·1/9=1/81

Совместное распределение можно представить в виде таблицы, где по строкам идут значения X, а по столбцам — значения Y. Все ячейки содержат одинаковую вероятность 1/81.

X\Y	1	2	...	9
1	1/81	1/81	...	1/81
2	1/81	1/81	...	1/81
...	...	...	...	...
9	1/81	1/81	...	1/81

Шаг 2. Определение возможных значений величины Z

Случайная величина Z определяется как максимум из двух выбранных чисел: Z= extmax(X,Y). Так как минимальное возможное число — 1, а максимальное — 9, то и Z может принимать любые целые значения от 1 до 9. То есть множество значений Z: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Шаг 3. Вычисление вероятностей для каждого значения Z=k

Нам нужно найти вероятность события Z=k, то есть P( extmax(X,Y)=k). Это событие происходит, если хотя бы одна из величин равна k, а вторая не превышает k. Рассмотрим случаи:

Если X=k и Y<k, то extmax(X,Y)=k. Таких пар (X,Y) ровно k-1 (так как Y может быть 1,2,…,k-1).
Если Y=k и X<k, то extmax(X,Y)=k. Таких пар (X,Y) также ровно k-1.
Если X=k и Y=k, то extmax(X,Y)=k. Такая пара всего одна (k,k).

Общее количество благоприятных исходов для фиксированного k равно сумме этих вариантов:

N_k=(k-1)+(k-1)+1=2k-2+1=2k-1

Поскольку все исходы равновероятны и общее число исходов равно 9×9=81, вероятность того, что Z=k, равна:

P(Z=k)= rac2k-181

Шаг 4. Проверка нормировки распределения

Сумма всех вероятностей должна равняться 1. Проверим это, просуммировав P(Z=k) по всем возможным значениям k от 1 до 9:

extSum= rac181igg( rac2(1)-11+ rac2(2)-11+ rac2(3)-11+ rac2(4)-11+ rac2(5)-11+ rac2(6)-11+ rac2(7)-11+ rac2(8)-11+ rac2(9)-11igg) extSum= rac181(1+3+5+7+9+11+13+15+17)

Сумма первых девяти нечетных чисел равна квадрату количества слагаемых: 9²=81. Или просто сложим: 1+17=18, 3+15=18, 5+13=18, 7+11=18, плюс центральное 9. Итого 4×18+9=72+9=81.

extSum= rac8181=1

Распределение построено верно.

Ответ

а) P(X=a,Y=b)=1/81, где a,b = 1$, 2, \ \dots, 9</p><p><strong>б)</strong>P(Z=k) = \frac{2k-1}{81}, где k=1, 2, \ \dots, 9$

Решение опирается на определение независимости случайных величин и комбинаторный подсчет благоприятных исходов для функции max(X, Y). Формула для вероятности Z получена путем разложения события {max(X, Y)=k} на три непересекающихся случая.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 357 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 357?

Краткий ответ: а) P(X=a, Y=b) = 181, где a,b = 1, 2, \ , 9 б) P(Z=k) = 2k-181, где k=1, 2, \ , 9.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.