ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 359: Совместное распределение двух случайных величин
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Проводится серия испытаний Бернулли. С каждым испытанием связана бинарная случайная величина: Ik=1, если испытание с номером k закончилось успехом, и Ik=0 — если неудачей. Являются ли независимыми случайные величины Ik и Im, если k≠m?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо вспомнить определение независимости случайных величин и свойства испытаний Бернулли. Две дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых их значений xi и yj выполняется равенство: P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)·P(Y=yj).
Шаг 1. Определение вероятностей отдельных событий
Пусть вероятность успеха в одном испытании равна p, а вероятность неудачи — q=1-p.
Случайная величина Ik принимает значения 0 или 1. Вероятности этих исходов:
- P(Ik=1)=p;
- P(Ik=0)=q.
Аналогично для другой величины Im (где m≠k):
- P(Im=1)=p;
- P(Im=0)=q.
Шаг 2. Вычисление совместной вероятности
Рассмотрим произвольную пару значений (i,j), где i,j∈{0,1}. Нам нужно найти вероятность того, что Ik=i и одновременно Im=j.
По определению серии испытаний Бернулли, все испытания являются независимыми . Это означает, что результат одного испытания никак не влияет на результат другого. Следовательно, вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Например, если мы рассматриваем случай Ik=1 и Im=1 (успех в обоих испытаниях), то:
P(Ik=1,Im=1)=P(успех в k-м)·P(успех в m-м)=p·p=p2.Если же мы рассматриваем смешанный случай, например Ik=1 и Im=0 (успех в k-м, неудача в m-м), то:
P(Ik=1,Im=0)=p·q.В общем виде для любых i,j∈{0,1}:
P(Ik=i,Im=j)=P(Ik=i)·P(Im=j).Шаг 3. Проверка условия независимости
Сравним полученное выражение с определением независимости из Шага 1.
Мы установили, что:
P(Ik=i,Im=j)=P(Ik=i)·P(Im=j).Это равенство выполняется для всех возможных комбинаций значений i и j (00,01,10,11).
Так как условие независимости выполнено, делаем вывод о том, что величины Ik и Im независимы.
Да, являются.
Задача проверяет понимание фундаментального свойства серии испытаний Бернулли: независимость испытаний друг от друга. Поскольку по определению испытания Бернулли проводятся независимо, то и индикаторные переменные, связанные с разными испытаниями, также будут независимыми случайными величинами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 359 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 359?
Краткий ответ: Да, являются.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.