ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 361: Совместное распределение двух случайных величин
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В случайном опыте n человек пишут записки на одинаковых листах бумаги, затем листы перемешивают и случайным образом распределяют между всеми участниками опыта. Бинарная случайная величина Ik равна 1, если k-й участник получил собственную записку, и Ik=0 — в противном случае. Являются ли случайные величины Ik и Im независимыми при 1≤k<m≤n?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы проверить независимость случайных величин Ik и Im, необходимо сравнить вероятность их совместного события с произведением вероятностей каждого отдельного события. Если равенство P(Ik=1,Im=1)=P(Ik=1)·P(Im=1) не выполняется, то величины зависимы.
Шаг 1. Вычислим маргинальные вероятности
Рассмотрим событие A: k-й участник получил свою записку (Ik=1). Всего существует n! способов распределить n записок между n участниками. Количество благоприятных исходов для события A равно (n-1)!, так как остальные n-1 участников могут получить любые из оставшихся n-1 записок в любом порядке.
P(Ik=1)=(n-1)!/n!=1/nАналогично, для события B: m-й участник получил свою записку (Im=1), вероятность равна:
P(Im=1)=1/nШаг 2. Вычислим вероятность совместного события
Рассмотрим событие C: оба участника k и m получили свои записки одновременно (Ik=1 и Im=1). В этом случае две конкретные записки уже закреплены за своими владельцами. Оставшиеся n-2 записки распределяются между n-2 участниками произвольным образом. Количество таких перестановок равно (n-2)!.
Общее количество исходов по-прежнему n!. Тогда вероятность совместного события:
P(Ik=1,Im=1)=(n-2)!/n!=1/n(n-1)Шаг 3. Проверка условия независимости
Случайные величины независимы, если выполняется равенство:
P(Ik=1,Im=1)=P(Ik=1)·P(Im=1)Подставим найденные значения:
- Левая часть: 1/n(n-1)
- Правая часть: 1/n·1/n=1/n2
Сравним дроби. Для любого n>1 знаменатель n(n-1)=n2-n меньше, чем n2. Следовательно:
1/n(n-1)>1/n2То есть P(Ik=1,Im=1)≠P(Ik=1)·P(Im=1). Знание того, что один участник получил свою записку, меняет вероятность того, что другой участник тоже получит свою записку (она возрастает).
Вывод: Случайные величины Ik и Im не являются независимыми.
Нет.
Задача на проверку независимости индикаторов совпадений при перемешивании (задача о беспорядках/совпадениях). Ключевой момент — сравнение условной вероятности или произведения маргинальных с совместной.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 361 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 361?
Краткий ответ: Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.