10–11 классы Совместное распределение двух случайных величин § 32. Совместное распределение двух случайных величин

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 358: Совместное распределение двух случайных величин

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Екатерина Новикова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 357 359 →

Условие

Докажите, что если события A и B независимы, то независимы и индикаторы этих событий.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства нам нужно вспомнить определения независимости событий и независимости случайных величин (в данном случае — индикаторов).

Шаг 1. Определение индикатора события

Индикатор события A, обозначаемый как I_A, является случайной величиной, которая принимает значение 1, если событие A произошло, и значение 0, если событие A не произошло.

Аналогично для события B: I_B=1, если B произошло, и I_B=0, иначе.

Таким образом, возможные значения пары (I_A,I_B): (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

Шаг 2. Условие независимости событий

По условию задачи события A и B независимы. Это означает, что вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей:

P(A∩B)=P(A)·P(B)

Из этого также следует независимость противоположных событий. Например, события A и B независимы, так как:

P(A∩B)=P(B)-P(A∩B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(A)

Аналогично можно показать, что независимы пары (A,B), (A,B).

Шаг 3. Критерий независимости случайных величин

Две дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых значений x_i и y_j выполняется равенство:

P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)·P(Y=y_j)

В нашем случае X=I_A и Y=I_B. Нам нужно проверить это равенство для всех четырёх комбинаций значений 0 и 1.

Шаг 4. Проверка равенства для всех случаев

Рассмотрим все возможные исходы для пары индикаторов (I_A,I_B):

Случай 1: I_A=1,I_B=1.
Это соответствует событию A∩B.
Левая часть: P(I_A=1,I_B=1)=P(A∩B).
Правая часть: P(I_A=1)·P(I_B=1)=P(A)·P(B).
Так как A и B независимы, то P(A∩B)=P(A)P(B). Равенство верно.
Случай 2: I_A=1,I_B=0.
Это соответствует событию A∩B.
Левая часть: P(I_A=1,I_B=0)=P(A∩B).
Правая часть: P(I_A=1)·P(I_B=0)=P(A)·P(B).
Как мы показали в Шаге 2, события A и B независимы, значит P(A∩B)=P(A)P(B). Равенство верно.
Случай 3: I_A=0,I_B=1.
Это соответствует событию A∩B.
Левая часть: P(I_A=0,I_B=1)=P(A∩B).
Правая часть: P(I_A=0)·P(I_B=1)=P(A)·P(B).
События A и B независимы, значит равенство верно.
Случай 4: I_A=0,I_B=0.
Это соответствует событию A∩B.
Левая часть: P(I_A=0,I_B=0)=P(A∩B).
Правая часть: P(I_A=0)·P(I_B=0)=P(A)·P(B).
События A и B независимы, значит равенство верно.

Шаг 5. Вывод

Мы проверили выполнение условия независимости случайных величин для всех возможных пар значений индикаторов I_A и I_B. Поскольку равенство P(I_A=x,I_B=y)=P(I_A=x)·P(I_B=y) выполняется для всех x,y∈{0,1}, делаем вывод, что индикаторы I_A и I_B являются независимыми случайными величинами.

Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказательство завершено: показана независимость индикаторов через проверку равенства вероятностей для всех комбинаций значений 0 и 1.

Задача требует строгого применения определений. Важно явно расписать связь между независимостью событий A и B и независимостью событий A и complement(B). Индикаторы принимают только два значения, поэтому проверка сводится к 4 случаям.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 358 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 358?

Краткий ответ: Доказательство завершено: показана независимость индикаторов через проверку равенства вероятностей для всех комбинаций значений 0 и 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.