10–11 классы Совместное распределение двух случайных величин § 32. Совместное распределение двух случайных величин

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 356: Совместное распределение двух случайных величин

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Никита Ершов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 355 357 →

Условие

В эксперименте наблюдаются две независимые случайные величины X и Y. Величина X принимает значения -1, 0 или 1 с равными вероятностями, а величина Y принимает значения 1 или 2 с равными вероятностями. Составьте распределение случайной величины: a) X+Y; б) X-2Y; в) X/Y.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи сначала определим вероятности для каждой из исходных случайных величин X и Y. Так как величины независимы, вероятность совместного появления конкретных значений равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Шаг 1. Анализ исходных данных

Случайная величина X принимает значения -1, 0, 1 с равными вероятностями:

P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=1/3

Случайная величина Y принимает значения 1, 2 с равными вероятностями:

P(Y=1)=P(Y=2)=1/2

Всего существует 3×2=6 равновероятных исходов пары (X,Y), каждый из которых имеет вероятность:

P(X=x_i,Y=y_j)=1/3·1/2=1/6

Шаг 2. Распределение величины а) Z₁=X+Y

Вычислим все возможные значения суммы X+Y и соответствующие им вероятности, группируя одинаковые результаты.

Если X=-1:
- Y=1⇒Z₁=-1+1=0, вер. 1/6
- Y=2⇒Z₁=-1+2=1, вер. 1/6
Если X=0:
- Y=1⇒Z₁=0+1=1, вер. 1/6
- Y=2⇒Z₁=0+2=2, вер. 1/6
Если X=1:
- Y=1⇒Z₁=1+1=2, вер. 1/6
- Y=2⇒Z₁=1+2=3, вер. 1/6

Сгруппируем полученные значения:

Значение x_i	0	1	2	3
Вероятность p_i	1/6	1/6+1/6=1/3	1/6+1/6=1/3	1/6

Проверка: сумма вероятностей 1/6+2/6+2/6+1/6=1. Верно.

Шаг 3. Распределение величины б) Z₂=X-2Y

Вычислим значения выражения X-2Y для всех пар (X,Y).

При Y=1 (множитель 2Y=2):
- X=-1⇒Z₂=-1-2=-3, вер. 1/6
- X=0⇒Z₂=0-2=-2, вер. 1/6
- X=1⇒Z₂=1-2=-1, вер. 1/6
При Y=2 (множитель 2Y=4):
- X=-1⇒Z₂=-1-4=-5, вер. 1/6
- X=0⇒Z₂=0-4=-4, вер. 1/6
- X=1⇒Z₂=1-4=-3, вер. 1/6

Сгруппируем значения по возрастанию:

Значение x_i	-5	-4	-3	-2	-1
Вероятность p_i	1/6	1/6	1/6+1/6=1/3	1/6	1/6

Проверка: сумма вероятностей 1/6+1/6+2/6+1/6+1/6=1. Верно.

Шаг 4. Распределение величины в) Z₃=X/Y

Вычислим значения отношения X/Y для всех пар (X,Y).

При Y=1:
- X=-1⇒Z₃=-1/1=-1, вер. 1/6
- X=0⇒Z₃=0/1=0, вер. 1/6
- X=1⇒Z₃=1/1=1, вер. 1/6
При Y=2:
- X=-1⇒Z₃=-1/2=-0,5, вер. 1/6
- X=0⇒Z₃=0/2=0, вер. 1/6
- X=1⇒Z₃=1/2=0,5, вер. 1/6

Сгруппируем значения по возрастанию:

Значение x_i	-1	-0{,}5	0	0{,}5	1
Вероятность p_i	1/6	1/6	1/6+1/6=1/3	1/6	1/6

Проверка: сумма вероятностей 1/6+1/6+2/6+1/6+1/6=1. Верно.

Ответ

а)

0	1	2	3
\frac{1}{6}	\frac{1}{3}	\frac{1}{3}	\frac{1}{6}

б)

-5	-4	-3	-2	-1
\frac{1}{6}	\frac{1}{6}	\frac{1}{3}	\frac{1}{6}	\frac{1}{6}

в)

-1	-0{,}5	0	0{,}5	1
\frac{1}{6}	\frac{1}{6}	\frac{1}{3}	\frac{1}{6}	\frac{1}{6}

Решение построено на переборе всех 6 возможных исходов для независимых дискретных величин. Для каждого пункта составлена таблица распределения новой величины путем группировки одинаковых значений и суммирования их вероятностей. Проведена проверка нормировки (сумма вероятностей равна 1).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 356 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 356?

Краткий ответ: а) X+Y pmatrix 0 & 1 & 2 & 3 \\ 16 & 13 & 13 & 16 pmatrix б) X-2Y pmatrix -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ 16 & 16 & 13 & 16 & 16 pmatrix в) XY pmatrix -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 \\ 16 & 16 & 13 & 16 & 16 pmatrix.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 32. Совместное распределение двух случайных величин.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.