ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 35
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Илья Морозов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что
а) в арифметической прогрессии каждый член (начиная со второго) является средним арифметическим соседних
б) в геометрической прогрессии каждый член (начиная со второго) является средним геометрическим двух соседних
в) в последовательности 1,1/2,1/3,...,1/n,... каждый член (начиная со второго) является средним гармоническим двух соседних. Придумайте последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) является средним квадратичным двух соседних.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение
В данной задаче требуется доказать свойства средних величин для различных типов последовательностей и привести пример для среднего квадратичного. Вспомним определения:
- Среднее арифметическое двух чисел a и b: A=a+b/2;
- Среднее геометрическое двух положительных чисел a и b: G=ab;
- Среднее гармоническое двух ненулевых чисел a и b: H=2ab/a+b;
- Среднее квадратичное двух чисел a и b: Q=a2+b2/2.
Шаг 1. Доказательство пункта а) для арифметической прогрессии
Пусть дана арифметическая прогрессия (an) с разностью d. По определению, каждый следующий член получается прибавлением разности к предыдущему: an=an-1+d и an+1=an+d.
Выразим соседние члены через средний an:
an-1=an-d, an+1=an+d.Найдём среднее арифметическое соседних членов an-1 и an+1:
an-1+an+1/2=(an-d)+(an+d)/2=2an/2=an.Так как результат равен самому члену an, то утверждение доказано: в арифметической прогрессии каждый член является средним арифметическим своих соседей.
Шаг 2. Доказательство пункта б) для геометрической прогрессии
Пусть дана геометрическая прогрессия (bn) со знаменателем q (q>0, чтобы все члены были положительными и существовало среднее геометрическое). По определению: bn=bn-1·q и bn+1=bn·q.
Выразим соседние члены через средний bn:
bn-1=bn/q, bn+1=bn·q.Найдём произведение соседних членов:
bn-1·bn+1=bn/q·(bn·q)=b2n.Теперь найдём среднее геометрическое соседних членов:
bn-1·bn+1=b2n=bn.Так как результат равен самому члену bn, то утверждение доказано: в геометрической прогрессии каждый член является средним геометрическим своих соседей.
Шаг 3. Доказательство пункта в) для последовательности обратных натуральных чисел
Рассмотрим последовательность cn=1/n. Нам нужно проверить, верно ли равенство cn=H(cn-1,cn+1), где H — среднее гармоническое.
Запишем формулу среднего гармонического для соседних членов cn-1=1/n-1 и cn+1=1/n+1:
H=2·cn-1·cn+1/cn-1+cn+1.Подставим значения:
H=2·1/n-1·1/n+1/1/n-1+1/n+1.Упростим числитель:
2·1/(n-1)(n+1)=2/n2-1.Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю:
1/n-1+1/n+1=(n+1)+(n-1)/(n-1)(n+1)=2n/n2-1.Теперь разделим числитель на знаменатель:
H=2/n2-1/2n/n2-1=2/n2-1·n2-1/2n=1/n.Получили, что H=1/n=cn. Утверждение доказано.
Шаг 4. Пример последовательности для пункта г) (среднее квадратичное)
Нужно придумать последовательность (xn), такую что xn=x2n-1+x2n+1/2.
Возведём это равенство в квадрат:
x2n=x2n-1+x2n+1/2. 2x2n=x2n-1+x2n+1. x2n+1-x2n=x2n-x2n-1.Это означает, что разности квадратов соседних членов постоянны. То есть последовательность квадратов (x2n) должна быть арифметической прогрессией.
Простейший пример: пусть x2n=n. Тогда сама последовательность будет выглядеть так:
xn=n.Проверим для первых трёх членов: 1,2,3.
Среднее квадратичное первого и третьего члена:
Q=12+(3)2/2=1+3/2=4/2=2.Второй член равен 2. Равенство выполняется.
Ответом может служить любая последовательность вида xn=an+b при a,b>0. Возьмём простую: 1,2,3,…,n,….
а) Доказано: an=an-1+an+1/2.
б) Доказано: bn=bn-1bn+1.
в) Доказано: 1/n=2·1/n-1·1/n+1/1/n-1+1/n+1.
г) Пример: 1,2,3,...,n,...
Для пункта г) важно показать связь между свойством среднего квадратичного и арифметической прогрессией квадратов членов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 35 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 35?
Краткий ответ: а) Доказано: a_n = a_n-1+a_n+12. б) Доказано: b_n = b_n-1b_n+1. в) Доказано: 1n = 2 · 1n-1 · 1n+1 1n-1 + 1n+1. г) Пример: 1, √2, √3, ..., √n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.