ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 366: Свойства математического ожидания
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Надежда Фомина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Из ящика с 49 шарами (номера от 1 до 49) вынимают 6 шаров. Найдите математическое ожидание суммы номеров на шарах, если
а) каждый шар возвращается в ящик
б) вынутые шары не возвращаются.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойством линейности математического ожидания. Пусть Xi — номер i-го вынутого шара (i=1,2,…,6). Тогда сумма номеров на всех шести шарах равна S=X1+X2+…+X6. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых: E(S)=E(X1)+E(X2)+…+E(X6).
Шаг 1. Вычисление математического ожидания одного шара
Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения от 1 до 49 (номера шаров в ящике).
Если выборка равномерная, то вероятность вытянуть любой конкретный номер одинакова и равна 1/49. Математическое ожидание одной такой величины вычисляется как среднее арифметическое всех возможных значений:
E(X)=1+2+…+49/49.Сумма арифметической прогрессии от 1 до n равна n(n+1)/2. Для n=49:
1+2+…+49=49·50/2=49·25=1225.Тогда:
E(X)=1225/49=25.Таким образом, ожидаемый номер любого отдельно взятого шара равен 25.
Шаг 2. Решение пункта а) (с возвращением)
В условии сказано, что каждый шар возвращается в ящик перед следующим извлечением. Это означает, что все шесть испытаний являются независимыми и идентичными распределенными. В каждом испытании мы имеем дело с той же самой случайной величиной X, принимающей значения от 1 до 49 с вероятностью 1/49.
Математическое ожидание каждого Xi равно 25:
E(X1)=E(X2)=…=E(X6)=25.Используя линейность математического ожидания:
E(S)=6·E(X)=6·25=150.Ответ для а): 150.
Шаг 3. Решение пункта б) (без возвращения)
Во втором случае вынутые шары не возвращаются. Испытания становятся зависимыми, однако свойство линейности математического ожидания выполняется независимо от того, являются ли случайные величины независимыми или зависимыми .
Нам нужно найти E(Xi) для каждого i-го шага. Из симметрии процесса следует, что маргинальное распределение (распределение отдельной величины без учета остальных) для номера любого из вынутых шаров совпадает с распределением номера первого шара. То есть, если мы посмотрим только на первый вынутый шар, его номер равномерно распределен от 1 до 49. Если мы посмотрим только на второй вынутый шар (усредняя по всем возможным исходам первого), его номер также будет равномерно распределен от 1 до 49.
Формально это можно обосновать так: вероятность того, что k-й вынутый шар имеет номер j, равна 1/49 для любых k и j. Поэтому:
E(Xk)=25 для всех k=1,…,6.Тогда математическое ожидание суммы:
E(S)=∑6k=1E(Xk)=6·25=150.Ответ для б): 150.
Проверка: Полученные результаты совпадают для обоих случаев. Это логично, так как при равномерном выборе подмножества фиксированного размера из множества чисел среднее значение элементов этого подмножества всегда равно среднему значению всего исходного множества. Среднее число от 1 до 49 равно 25, значит, средняя сумма шести таких чисел равна 6×25=150, независимо от метода выборки (с возвращением или без).
а) 150
б) 150
Задача демонстрирует ключевое свойство математического ожидания: линейность. Важно подчеркнуть ученикам, что для вычисления матожидания суммы не требуется знать совместное распределение слагаемых (то есть не важно, независимы они или нет). Достаточно знать их частные (маргинальные) распределения. В обоих случаях каждое отдельное извлечение дает равномерное распределение на множестве {1,...,49}, поэтому матожидание каждого слагаемого равно 25.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 366 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 366?
Краткий ответ: а) 150 б) 150.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 34. Свойства математического ожидания.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.