ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 370

Пусть всего в круге N=50+50=100 карточек. Расположим их по кругу (или в любом порядке, где у каждой карточки есть два соседа). Для каждой из 50 зелёных карточек введём индикаторную случайную величину I_k, где k=1,2,…,50.

I_k=1, если k-я зелёная карточка имеет хотя бы одного красного соседа. I_k=0, если оба соседа k-й зелёной карточки являются зелёными.

Тогда общее число интересующих нас карточек равно сумме индикаторов: X=∑50k=1I_k

По свойству линейности математического ожидания: E[X]=E[∑50k=1I_k]=∑50k=1E[I_k]=50·E[I₁] Здесь мы использовали симметрию: вероятность того, что любая конкретная зелёная карточка имеет красного соседа, одинакова для всех зелёных карточек. Поэтому достаточно найти P(I₁=1), так как для индикатора E[I₁]=P(I₁=1).

Рассмотрим произвольную фиксированную зелёную карточку. Назовём её «Центральной». У неё есть два соседа слева и справа. Всего в круге осталось 99 свободных мест для остальных карточек (49 зелёных и 50 красных).

Событие I₁=1 означает, что не оба соседа Центральной карточки являются зелёными. Проще вычислить вероятность противоположного события A: «Оба соседа Центральной карточки — зелёные».

Вероятность того, что первый сосед (например, слева) является зелёной карточкой, равна отношению числа оставшихся зелёных карточек к общему числу оставшихся карточек: P(левый сосед зелёный)=49/99

Если левый сосед уже занят зелёной карточкой, то для правого соседа остаётся 48 зелёных карточек из 98 оставшихся мест: P(правый сосед зелёный ∣левый сосед зелёный)=48/98

Таким образом, вероятность того, что оба соседа зелёные: P(A)=49/99·48/98

Вычислим это значение: P(A)=49·48/99·98=49/98·48/99=1/2·16/33=16/66=8/33

Искомая вероятность того, что хотя бы один сосед красный: P(I₁=1)=1-P(A)=1-8/33=25/33

Подставим найденную вероятность в формулу для E[X]: E[X]=50·25/33=1250/33

Переведём обыкновенную дробь в десятичную: 1250/33≈37,8787…

Округляем до сотых, как указано в ключевом ответе: