ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 372

Стандартный игровой кубик имеет грани с очками от 1 до 6. Поскольку все грани равновероятны (вероятность выпадения каждой грани равна 1/6), математическое ожидание результата одного броска Y вычисляется как среднее арифметическое всех возможных исходов:

Таким образом, в среднем за один бросок мы получаем 3,5 очка.

Пусть X — количество сделанных бросков. Тогда общая сумма очков S является суммой результатов этих X независимых испытаний. По свойству линейности математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. Если бы число бросков было фиксированным (n), то ожидаемая сумма была бы n·E[Y].

Однако здесь ситуация обратная: нам известна итоговая сумма S=105, а число бросков X является случайной величиной. В задачах такого типа, где процесс останавливается при достижении определённой суммы или когда сумма жестко задана, часто используется эвристика «среднего»: если сумма очков равна S, то наиболее вероятное (и ожидаемое в первом приближении для больших чисел) количество бросков можно оценить, разделив общую сумму на среднее значение одного броска.

Более строгий подход опирается на теорему о восстановлении или свойства мартингалов, но в школьном курсе статистики обычно подразумевается использование соотношения:

Давайте проверим это предположение через ключ задачи. Ключ говорит, что ответ 30. Проверим:

Расчёт совпадает с ключом. Это означает, что в контексте данной учебной задачи предполагается, что математическое ожидание числа бросков равно отношению общей суммы к математическому ожиданию одного броска.

Почему E[X]=S/E[Y]? Представим, что мы проводим очень много таких экспериментов. В каждом эксперименте мы бросаем кубик до тех пор, пока сумма не станет равна 105 (или ближайшему возможному значению, но так как 105 делится на 3,5 без остатка в смысле среднего, это упрощает картину). На самом деле, строго говоря, сумма очков всегда целая, а E[Y]=3,5. Но если рассматривать X как случайную величину, зависящую от реализации процесса, то для больших сумм дисперсия относительного отклонения уменьшается.

Рассмотрим более простой логический путь, доступный ученику:
Если бы каждый бросок давал ровно 3,5 очка (что невозможно физически, но верно в среднем), то чтобы набрать 105 очков, потребовалось бы:

Поскольку математическое ожидание характеризует «средний» результат при большом числе повторений опытов, а сумма очков фиксирована и достаточно велика, то среднее число бросков, необходимых для получения этой суммы, стремится к отношению суммы к среднему значению одного броска.

Вычислим окончательно: