ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 379

Нам нужно найти математическое ожидание числа бросков, при которых сумма очков на двух кубиках равна 12.

Сначала определим вероятность этого события (p_a). При броске двух игральных кубиков всего существует 6×6=36 равновероятных исходов.

Сумма очков равна 12 только в одном случае: когда на обоих кубиках выпадает по 6 очков (пара (6;6)).

Таким образом, вероятность успеха в одном броске:

Количество бросков n=180. Вычислим математическое ожидание:

Ответ для а): 5.

Теперь найдем математическое ожидание числа бросков, в которых выпавшие числа очков отличаются не более чем на 1.

Условие «отличаются не более чем на 1» означает, что разность между числами на кубиках может быть равна 0 или 1. То есть нам подходят пары (x;y), такие что |x-y|≤1.

Перечислим все благоприятные исходы из 36 возможных:

• Разность равна 0 (одинаковые числа): (1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6) — всего 6 исходов.
• Разность равна 1:
  • (1;2),(2;1)
  • (2;3),(3;2)
  • (3;4),(4;3)
  • (4;5),(5;4)
  • (5;6),(6;5)
  Всего 10 исходов.

Общее количество благоприятных исходов: 6+10=16.

Вероятность успеха в одном броске (p_b):

Вычислим математическое ожидание при n=180:

Сократим дробь: 180:9=20. Тогда:

Примечание: В ключе ответа указано значение 11,25. Проверим, какой интерпретации условия соответствует это число. Если бы мы считали только случаи с разностью ровно 1 (без одинаковых чисел), то исходов было бы 10, вероятность 10/36=5/18, и ожидание 180·5/18=50. Это тоже не совпадает. Значение 11,25 получается, если вероятность успеха равна 11,25/180=1/16. Вероятность 1/16 не имеет очевидного геометрического смысла для стандартных кубиков в данном контексте. Однако, если предположить опечатку в условии учебника или ключе, наиболее вероятная ошибка в ключе связана с неправильным подсчетом исходов или неверной формулировкой условия (например, «сумма равна 7» дает p=6/36=1/6, M=30; «сумма равна 2» дает p=1/36, M=5).

Строго следуя тексту условия «отличаются не более чем на 1», правильный расчет дает 80. Но так как ключ указывает 11,25, давайте перепроверим условие. Возможно, имелось в виду «разность равна 1»? Нет, там 50. «Сумма равна 12»? Там 5.

Давайте посмотрим на число 11,25. 11,25=45/4. M=np⇒p=11,25/180=45/4·180=1/16.

Возможно, в условии подразумевалось другое событие? Например, если бы кубики были не игральными, а с другими гранями? Или если бы речь шла о другом количестве бросков?

Однако, согласно правилам решения, я обязан следовать условию. Условие: «выпавшие числа очков отличаются не более чем на 1».

Благоприятные исходы: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6). Их действительно 16.

P=16/36=4/9. E=180·4/9=80.

Поскольку ключ 11,25 сильно расходится с прямым вычислением, возможно, в оригинальной задаче было другое условие, например, «сумма очков равна 7» при другом количестве бросков, или «выпало две шестерки» при другом n. Но при заданных данных ответ 80.

Однако, часто в таких задачах под «отличаются не более чем на 1» могут ошибочно понимать только соседние числа без повторов? Нет, тогда 10/36.

Проверим вариант, где рассматривается только одна конкретная пара? Нет.

Если принять ключ за истину, то p=1/16. Где возникает 1/16? Не в классических кубиках.

Я предоставлю решение, строго следующее логике условия, но отмечу расхождение с ключом, если это необходимо для школьного контекста. Обычно в ГДЗ требуется дать ответ, соответствующий ключу, даже если он спорный, либо исправить условие. Здесь же я напишу корректное математическое решение для данного текста.

Корректировка: Перечитаем внимательно. Может быть, «не более чем на 1» относится к сумме? Нет, «числа очков».

Давайте проверим пункт а) еще раз. Сумма 12 -> 1 исход -> 5. Ключ верен.

Пункт б). Ключ 11,25. 11,25/180=0,0625=1/16.

Какая вероятность равна 1/16? Это (1/4)². Не подходит для кубиков.

Возможно, в условии опечатка и должно быть «сумма очков равна 7»? P=6/36=1/6. M=30.

«Сумма очков равна 2»? P=1/36. M=5.

«Сумма очков равна 11»? P=2/36=1/18. M=10.

«Сумма очков равна 10»? P=3/36=1/12. M=15.

Ни один из вариантов суммы не дает 11,25.

Что если «выпавшие числа равны»? P=6/36=1/6. M=30.

Что если «разность равна 1»? P=10/36=5/18. M=50.

Единственный способ получить 11,25 — это если n было другим, или p другим.

Предположим, что в условии учебника была ошибка, и имелось в виду событие с вероятностью 1/16. Для игральных костей это невозможно напрямую.

Но! Если посмотреть на похожие задачи в других источниках, иногда путают «отличаются на 1» и другие условия.

Тем не менее, я должен решить задачу по тексту. Текст: «отличаются не более чем на 1». Ответ: 80.

Однако, система просит ориентироваться на ключ. Если я напишу 80, пользователь может подумать, что я ошибся, сверяясь с книгой. Если я напишу 11,25, я буду вынужден придумать ложную логику.

Давайте поищем ошибку в моем подсчете исходов.

Исходы:

1-1, 1-2, 2-1, 2-2, 2-3, 3-2, 3-3, 3-4, 4-3, 4-4, 4-5, 5-4, 5-5, 5-6, 6-5, 6-6.

Всего 16. Все верно.

Вероятность 16/36 = 4/9.

Математическое ожидание 180 * 4/9 = 80.

Ключ 11,25 явно ошибочен для данного текста условия, либо текст условия искажен при пересказе (например, было не 180 бросков, а меньше, или другое событие).

Но, подождите. А что если «отличаются не более чем на 1» трактуется как «разность модулей...»? Нет.

Я представлю честное решение. В примечаниях укажу на несоответствие ключа.

Ответ для б): 80.