ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 382
Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Бросают игральный кубик. Затем бросают монету столько раз, сколько очков выпало на кубике. Нужно найти математическое ожидание числа решек, выпавших при бросаниях монеты.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи воспользуемся свойством математического ожидания условной случайной величины. Обозначим через X число очков, выпавших на игральной кости, а через Y — число решек, выпавших при бросании монеты.
Шаг 1. Анализ распределения числа очков на кубике
Игральный кубик имеет 6 граней с очками от 1 до 6. Вероятность выпадения любого конкретного числа равна 1/6. Таким образом, случайная величина X принимает значения 1,2,3,4,5,6 с одинаковой вероятностью.
Найдём математическое ожидание числа очков на кубике E(X):
E(X)=∑6k=1k·P(X=k)=(1+2+3+4+5+6)·1/6=21/6=3,5Шаг 2. Условное математическое ожидание числа решек
Пусть на кубике выпало k очков (X=k). Тогда мы бросаем монету ровно k раз. Число решек в k независимых бросаниях честной монеты подчиняется биномиальному распределению с параметрами n=k и p=0,5 (вероятность выпадения решки).
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность успеха. Следовательно, условное математическое ожидание числа решек при условии, что выпало k очков, равно:
E(Y∣X=k)=k·p=k·0,5=0,5kШаг 3. Вычисление полного математического ожидания
Согласно формуле полного математического ожидания (закон итерированного ожидания), безусловное математическое ожидание E(Y) можно найти как математическое ожидание условного:
E(Y)=E(E(Y∣X))Подставим выражение для условного ожидания из шага 2:
E(Y)=E(0,5X)Используя линейность математического ожидания (E(cX)=cE(X)):
E(Y)=0,5·E(X)Мы уже нашли, что E(X)=3,5. Подставим это значение:
E(Y)=0,5·3,5=1,75Проверка методом перебора
Рассмотрим все возможные исходы бросания кубика и соответствующие им ожидания числа решек:
| Очки на кубике (k) | Вероятность P(X=k) | Условное ожидание E(Y|X=k) | Вклад в общее ожидание |
|---|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 0,5 | 1/6·0,5=0,5/6 |
| 2 | 1/6 | 1,0 | 1/6·1,0=1,0/6 |
| 3 | 1/6 | 1,5 | 1/6·1,5=1,5/6 |
| 4 | 1/6 | 2,0 | 1/6·2,0=2,0/6 |
| 5 | 1/6 | 2,5 | 1/6·2,5=2,5/6 |
| 6 | 1/6 | 3,0 | 1/6·3,0=3,0/6 |
Суммируем вклады:
E(Y)=0,5+1,0+1,5+2,0+2,5+3,0/6=10,5/6=1,75Результат совпадает с основным решением.
1,75
Задача решается через закон итерированного ожидания. Сначала находится среднее число бросков монеты (мат. ожидание кубика = 3,5), затем умножается на вероятность решки (0,5).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 382 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 382?
Краткий ответ: 1,75.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.