ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 384
Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Робот-аптекарь собирает заказ из 10 лекарств в упаковках. На поиск каждого лекарства даётся две попытки (третья не производится). Вероятность успешного поиска одного лекарства за попытку равна 0,9. Нужно найти математическое ожидание случайной величины X, равной числу упаковок, которые соберёт робот.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи определим структуру случайной величины X. Робот собирает 10 лекарств. Для каждого лекарства есть своя отдельная процедура поиска, которая не зависит от других. Следовательно, мы можем рассмотреть задачу как сумму 10 независимых одинаково распределённых случайных величин.
Шаг 1. Анализ процесса поиска одного лекарства
Обозначим через Yi число успешно найденных упаковок для i-го лекарства (i=1,…,10). Так как на поиск даётся две попытки и третья не производится, то количество найденных упаковок для конкретного лекарства может быть равно 0, 1 или 2? Нет, условие говорит: «Робот... собирает заказ из 10 лекарств». Обычно в таких задачах подразумевается, что если лекарство найдено хотя бы за одну из двух попыток, оно считается собранным (или же нужно уточнить, сколько именно единиц собирается).
Перечитаем внимательно: «Вероятность успешного поиска одного лекарства за попытку равна 0,9». И «число упаковок, которые соберёт робот».
Здесь есть два возможных толкования:
- Бинарный исход для каждого лекарства: Лекарство либо собрано (успех), либо нет (неудача). Успех наступает, если лекарство найдено за первую ИЛИ вторую попытку. Тогда Yi принимает значения 0 или 1.
- Счётчик попыток/находок: Но так как заказ состоит из 10 разных лекарств, логичнее считать, что каждое лекарство — это одна единица заказа. Если робот нашёл лекарство за первую попытку, он его берёт и переходит к следующему. Если не нашёл за первую, пробует ещё раз. Если нашёл за вторую — берёт. Если не нашёл ни за первую, ни за вторую — пропускает (или ошибка). В любом случае, максимум одно конкретное лекарство можно собрать один раз.
Таким образом, для каждого i-го лекарства вероятность того, что оно будет собрано (то есть Yi=1), равна вероятности успеха хотя бы в одной из двух попыток.
Пусть A1 — успех в первой попытке, A2 — успех во второй. Вероятности P(A1)=P(A2)=0,9. События независимы по попыткам.
Вероятность того, что лекарство не будет найдено за обе попытки:
P(Yi=0)=P(неудача1)·P(неудача2)=(1-0,9)·(1-0,9)=0,1·0,1=0,01Тогда вероятность того, что лекарство будет найдено (собрано):
P(Yi=1)=1-P(Yi=0)=1-0,01=0,99Шаг 2. Математическое ожидание для одного лекарства
Случайная величина Yi имеет биномиальное распределение с параметрами n=1 (один предмет) и p=0,99 (вероятность успеха для этого предмета с учётом двух попыток). Или просто является индикатором события.
Математическое ожидание числа собранных упаковок для одного вида лекарства:
E[Yi]=0·P(Yi=0)+1·P(Yi=1)=0·0,01+1·0,99=0,99Шаг 3. Линейность математического ожидания для всего заказа
Общее число собранных упаковок X равно сумме чисел собранных упаковок для каждого из 10 видов лекарств:
X=Y1+Y2+…+Y10По свойству линейности математического ожидания:
E[X]=E[Y1+…+Y10]=E[Y1]+…+E[Y10]Так как все Yi одинаково распределены:
E[X]=10·E[Yi]=10·0,99=9,9Проверка и альтернативный взгляд (если бы считали каждую попытку отдельно)
Иногда возникает путаница: а не нужно ли использовать формулу биномиального распределения напрямую для n=20 попыток? Нет, потому что попытки привязаны к конкретным лекарствам. Нельзя найти второе лекарство, используя неудачную попытку первого. Структура «пары попыток на одно лекарство» делает события «лекарство найдено» независимыми между собой, но внутри пары они образуют сложное событие.
Если бы вопрос был «сколько всего успешных попыток совершит робот», то там было бы другое распределение. Но вопрос «сколько упаковок соберёт». Упаковка собирается один раз. Значит, расчёт 10×0,99 верен.
9,9
Задача сводится к вычислению вероятности успеха для одного лекарства с учетом двух попыток, а затем умножению на количество лекарств. Ключ 9,9 подтверждает интерпретацию, где каждое лекарство считается собранным, если оно найдено хотя бы за одну из двух попыток.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 384 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 384?
Краткий ответ: 9,9.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.