10–11 классы Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 396

Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Ольга Кузнецова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 395 397 →

Условие

Докажите, что при любом значении x дисперсия случайной величины с распределением (значения 0,1,x; вероятности 0,2,0,6,0,2) не меньше чем 0,15.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для доказательства утверждения нам необходимо выразить дисперсию случайной величины X через параметр x, а затем найти минимальное значение этой функции. Дисперсия определяется формулой D(X)=E(X²)-(E(X))². Сначала найдем математическое ожидание E(X) и математическое ожидание квадрата величины E(X²).

Шаг 1. Вычисление математического ожидания E(X)

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений значений на их вероятности:

E(X)=0·0,2+1·0,6+x·0,2=0+0,6+0,2x=0,6+0,2x

Шаг 2. Вычисление математического ожидания квадрата E(X²)

Для нахождения E(X²) возведем значения в квадрат и умножим на соответствующие вероятности:

E(X²)=0²·0,2+1²·0,6+x²·0,2=0+0,6+0,2x²=0,6+0,2x²

Шаг 3. Выражение дисперсии D(X)

Подставим найденные выражения в формулу дисперсии:

D(X)=E(X²)-(E(X))²=(0,6+0,2x²)-(0,6+0,2x)²

Раскроем скобки во втором слагаемом:

(0,6+0,2x)²=0,36+2·0,6·0,2x+0,04x²=0,36+0,24x+0,04x²

Теперь подставим это обратно в выражение для дисперсии:

D(X)=0,6+0,2x²-(0,36+0,24x+0,04x²) D(X)=0,6+0,2x²-0,36-0,24x-0,04x²

Приведем подобные слагаемые:

D(X)=(0,2-0,04)x²-0,24x+(0,6-0,36) D(X)=0,16x²-0,24x+0,24

Шаг 4. Нахождение минимума квадратичной функции

Полученная функция f(x)=0,16x²-0,24x+0,24 является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом (a=0,16>0). Значит, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет минимум в вершине параболы.

Координата вершины по оси x находится по формуле x₀=-b/2a:

x₀=--0,24/2·0,16=0,24/0,32=24/32=3/4=0,75

Найдем значение дисперсии в точке минимума x₀=0,75:

D(0,75)=0,16·(0,75)²-0,24·0,75+0,24

Вычислим (0,75)²=0,5625:

D(0,75)=0,16·0,5625-0,18+0,24 0,16·0,5625=0,09 D(0,75)=0,09-0,18+0,24=0,15

Шаг 5. Вывод

Так как минимум функции дисперсии равен 0,15, то для любого действительного значения x выполняется неравенство:

D(X)≥0,15

Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: минимальное значение дисперсии достигается при x=0,75 и равно 0,15, следовательно, D(X)≥0,15.

Решение основано на стандартном определении дисперсии через моменты. Ключевой момент — сведение задачи к поиску минимума квадратичной функции. Проверка вычислений: 0,16·0,5625=0,09, верно. -0,24·0,75=-0,18, верно. Сумма 0,09-0,18+0,24=0,15, верно.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 396 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 396?

Краткий ответ: Доказано: минимальное значение дисперсии достигается при x=0,75 и равно 0,15, следовательно, D(X) 0,15.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.