10–11 классы Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 397

Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 396 398 →

Условие

Бросают игральные кости в форме кубика (грани 1–6), додекаэдра (грани 1–12) и икосаэдра (грани 1–20). Для каждой кости вычисляют стандартное отклонение s выпавших очков. В какой интервал длиной

а) 2s

б) 3s

в) 4s? попадают все возможные значения?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи необходимо для каждой из трёх костей (кубик с гранями 1-6, додекаэдр 1-12, икосаэдр 1-20) вычислить математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X), а затем найти стандартное отклонение s=D(X). После этого нужно проверить, попадают ли все возможные значения выпавших очков в интервалы длиной 2s, 3s и 4s вокруг среднего. Обычно под «интервалом» в таких задачах подразумевается симметричный интервал относительно математического ожидания: (M(X)-ks/2;M(X)+ks/2) или просто проверка ширины диапазона значений против ks. Однако формулировка «в какой интервал длиной... попадают все возможные значения» чаще всего означает проверку условия: покрывает ли интервал длиной L весь размах значений? Или же это проверка правила «трёх сигм», где интервал имеет вид [μ-kσ,μ+kσ], но тогда его длина равна 2kσ. Давайте внимательно прочитаем условие: «В какой интервал длиной: а) 2s; б) 3s; в) 4s? попадают все возможные значения?». Это значит, что мы рассматриваем интервалы фиксированной длины L, и спрашиваем, существует ли такой интервал (или конкретно центрированный на среднем), который содержит все исходы. В контексте школьной статистики обычно проверяют, лежит ли весь набор данных в пределах μ±c·s. Но здесь явно указана длина интервала. Давайте сначала посчитаем характеристики распределений.

Шаг 1. Расчёт характеристик для игральной кости-кубика (грани 1–6)

Пусть X₁ — результат броска кубика. Возможные значения: 1,2,3,4,5,6. Вероятность каждого исхода p_i=1/6.

Математическое ожидание:

M(X₁)=∑6i=1x_ip_i=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3.5

Дисперсия:

Формула: D(X)=M(X²)-(M(X))². M(X21)=1²+2²+3²+4²+5²+6²/6=1+4+9+16+25+36/6=91/6≈15.17 D(X₁)=91/6-(3.5)²=91/6-49/4=182-147/12=35/12≈2.917

Стандартное отклонение:

s₁=35/12≈1.708

Шаг 2. Расчёт характеристик для додекаэдра (грани 1–12)

Пусть X₂ — результат броска додекаэдра. Значения 1,…,12. p_i=1/12.

Математическое ожидание:

M(X₂)=1+12/2=6.5

Дисперсия:

Для равномерного дискретного распределения на {1,…,n} дисперсия равна n²-1/12. D(X₂)=12²-1/12=143/12≈11.917

Стандартное отклонение:

s₂=143/12≈3.452

Шаг 3. Расчёт характеристик для икосаэдра (грани 1–20)

Пусть X₃ — результат броска икосаэдра. Значения 1,…,20. p_i=1/20.

Математическое ожидание:

M(X₃)=1+20/2=10.5

Дисперсия:

D(X₃)=20²-1/12=399/12=33.25

Стандартное отклонение:

s₃=33.25≈5.766

Шаг 4. Анализ пунктов а), б), в)

Условие спрашивает: «В какой интервал длиной ... попадают все возможные значения?». Все возможные значения для любой кости лежат в диапазоне от минимальной грани до максимальной. Длина этого диапазона (размах) равна R=x_max-x_min. Однако, чтобы интервал попадал , он должен содержать все точки. Минимальная длина интервала, содержащего все значения, равна размаху R. Если интервал центрирован на среднем, то его полуширина должна быть не меньше максимального отклонения от среднего. Максимальное отклонение от среднего для симметричного распределения равно R/2. Таким образом, если мы строим интервал вида [M(X)-L/2,M(X)+L/2] длиной L, то для того, чтобы все значения попали внутрь, необходимо выполнение условия: L/2≥max(|x_i-M(X)|)=x_max-x_min/2=R/2 То есть L≥R. Но вопрос поставлен иначе: сравнивается длина интервала с s. Нужно проверить, при каких множителях k (L=ks) интервал покрывает все значения. То есть проверяем неравенство ks≥R? Или, возможно, имеется в виду классический интервал μ±kσ, длина которого 2kσ? Формулировка «интервал длиной 2s» однозначно задает полную длину L. Проверим, покрывает ли интервал длиной L весь разряд значений. Для этого достаточно, чтобы L≥R (если интервал можно двигать) или, если интервал строго центрирован на среднем, чтобы L/2≥R/2, т.е. L≥R. Так как распределения симметричны, центральный интервал является оптимальным. Вычислим размах R и сравним с требуемыми длинами 2s,3s,4s.

Кость	R (размах)	s (ст. откл.)	2s	3s	4s
Кубик (1-6)	6-1=5	≈1.708	≈3.416	≈5.124	≈6.832
Додекаэдр (1-12)	12-1=11	≈3.452	≈6.904	≈10.356	≈13.808
Икосаэдр (1-20)	20-1=19	≈5.766	≈11.532	≈17.298	≈23.064

Пункт а) Интервал длиной 2s. Сравниваем 2s с R: - Кубик: 3.416<5. Не попадает. - Додекаэдр: 6.904<11. Не попадает. - Икосаэдр: 11.532<19. Не попадает. Ответ: ни для одной кости.

Пункт б) Интервал длиной 3s. Сравниваем 3s с R: - Кубик: 5.124>5. Попадает. - Додекаэдр: 10.356<11. Не попадает. - Икосаэдр: 17.298<19. Не попадает. Ответ: только для кубика.

Пункт в) Интервал длиной 4s. Сравниваем 4s с R: - Кубик: 6.832>5. Попадает. - Додекаэдр: 13.808>11. Попадает. - Икосаэдр: 23.064>19. Попадает. Ответ: для всех трёх костей.

Ответ

а) Ни для одной кости

б) Только для кубика

в) Для всех трёх костей

Задача требует понимания связи между стандартным отклонением и размахом вариации для равномерных дискретных распределений. Ключевой момент — интерпретация фразы «интервал длиной X попадает все значения». Поскольку распределения симметричны, минимальный центрированный интервал, содержащий все данные, имеет длину, равную размаху R=x_max-x_min. Таким образом, условие «все значения попадают в интервал длиной L» эквивалентно проверке L≥R. Мы вычислили s для каждой кости и сравнили 2s,3s,4s с соответствующими размахами.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 397 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 397?

Краткий ответ: а) Ни для одной кости б) Только для кубика в) Для всех трёх костей.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.