ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 395
Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Роман Жуков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Подберите неизвестное значение x в распределении случайной величины Y, чтобы дисперсия была наименьшей
а) значения -2,x,2 с вероятностями 0,4,0,5,0,1
б) значения 0,x,2 с вероятностями 0,1,0,7,0,2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо выразить дисперсию случайной величины Y через неизвестный параметр x, а затем найти значение x, при котором эта дисперсия принимает минимальное значение. Вспомним формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины:
- Математическое ожидание: M(Y)=∑yipi;
- Дисперсия: D(Y)=M(Y2)-(M(Y))2, где M(Y2)=∑y2ipi.
Функция дисперсии D(x) будет квадратичной относительно x. Минимум квадратичной функции достигается в вершине параболы или на границе допустимого интервала значений x. Значения x должны быть различны от уже заданных значений распределения, чтобы это было корректным распределением (хотя формально совпадение значений возможно, но обычно подразумевается уникальность точек или просто поиск экстремума функции).
Шаг 1. Решение пункта а)
Заданы значения y1=-2,y2=x,y3=2 с вероятностями p1=0,4,p2=0,5,p3=0,1.
Найдем математическое ожидание M(Y):
M(Y)=(-2)·0,4+x·0,5+2·0,1=-0,8+0,5x+0,2=0,5x-0,6.Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины M(Y2):
M(Y2)=(-2)2·0,4+x2·0,5+22·0,1=4·0,4+0,5x2+4·0,1=1,6+0,5x2+0,4=0,5x2+2.Выразим дисперсию D(Y):
D(Y)=M(Y2)-(M(Y))2=(0,5x2+2)-(0,5x-0,6)2.Раскроем скобки:
(0,5x-0,6)2=0,25x2-2·0,5x·0,6+0,36=0,25x2-0,6x+0,36.Подставим обратно в выражение для дисперсии:
D(Y)=0,5x2+2-(0,25x2-0,6x+0,36)=0,5x2+2-0,25x2+0,6x-0,36.D(Y)=0,25x2+0,6x+1,64.Получили квадратичную функцию вида f(x)=ax2+bx+c, где a=0,25>0. График — парабола ветвями вверх, минимум находится в вершине параболы по формуле x0=-b/2a.
x0=-0,6/2·0,25=-0,6/0,5=-1,2.Проверим, не совпадает ли это значение с другими точками распределения (-2 и 2). -1,2≠-2 и -1,2≠2. Значение подходит.
Шаг 2. Решение пункта б)
Заданы значения y1=0,y2=x,y3=2 с вероятностями p1=0,1,p2=0,7,p3=0,2.
Найдем математическое ожидание M(Y):
M(Y)=0·0,1+x·0,7+2·0,2=0+0,7x+0,4=0,7x+0,4.Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины M(Y2):
M(Y2)=02·0,1+x2·0,7+22·0,2=0+0,7x2+4·0,2=0,7x2+0,8.Выразим дисперсию D(Y):
D(Y)=M(Y2)-(M(Y))2=(0,7x2+0,8)-(0,7x+0,4)2.Раскроем скобки:
(0,7x+0,4)2=0,49x2+2·0,7x·0,4+0,16=0,49x2+0,56x+0,16.Подставим обратно в выражение для дисперсии:
D(Y)=0,7x2+0,8-(0,49x2+0,56x+0,16)=0,7x2+0,8-0,49x2-0,56x-0,16.D(Y)=0,21x2-0,56x+0,64.Коэффициент при x2 равен a=0,21>0, значит, минимум также в вершине параболы:
x0=-b/2a=--0,56/2·0,21=0,56/0,42.Упростим дробь:
0,56/0,42=56/42=4·14/3·14=4/3.Проверим, не совпадает ли это значение с другими точками распределения (0 и 2). 4/3≈1,33, что не равно 0 и не равно 2. Значение подходит.
а) -1,2
б) 4/3
В обоих случаях дисперсия является квадратичной функцией от x с положительным старшим коэффициентом, поэтому минимум достигается в вершине параболы. Ключи совпадают с расчетами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 395 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 395?
Краткий ответ: а) -1,2 б) 43.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.