ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 391
Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Толщина доски (X) имеет математическое ожидание 20 мм и дисперсию 0,25. С вероятностью 0,95 отклонение толщины от среднего не превышает двух стандартных отклонений. Найти вероятность того, что случайно выбранная доска имеет толщину более 21 мм или менее 19 мм.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что случайная величина X (толщина доски) выходит за определённые границы. Для этого воспользуемся данными о математическом ожидании и дисперсии, а также информацией о вероятности отклонения от среднего.
Шаг 1. Определение параметров распределения
Из условия известно:
- Математическое ожидание: M(X)=20 мм.
- Дисперсия: D(X)=0,25.
Найдём стандартное отклонение σ. По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
σ=D(X)=0,25=0,5 мм .Шаг 2. Анализ границ события
Нам нужно найти вероятность события A: толщина доски более 21 мм или менее 19 мм. То есть нас интересует вероятность того, что X>21 или X<19.
Рассмотрим противоположное событие A: толщина доски находится в пределах от 19 до 21 мм включительно (или строго между ними, так как для непрерывных величин граничные точки имеют нулевую вероятность). Запишем это условие через отклонение от среднего:
|X-M(X)|≤?Проверим границы относительно среднего 20 мм:
- Верхняя граница: 21-20=1 мм.
- Нижняя граница: 20-19=1 мм.
Таким образом, событие «толщина в пределах от 19 до 21 мм» эквивалентно событию «отклонение толщины от среднего не превышает 1 мм»:
|X-20|≤1.Шаг 3. Связь с двумя стандартными отклонениями
В условии сказано: «С вероятностью 0,95 отклонение толщины от среднего не превышает двух стандартных отклонений». Запишем это формально:
P(|X-M(X)|≤2σ)=0,95.Подставим найденное значение σ=0,5 мм:
2σ=2·0,5=1 мм .Значит, утверждение из условия означает:
P(|X-20|≤1)=0,95.Это ровно та вероятность, которая соответствует событию A (толщина в диапазоне [19;21]).
Шаг 4. Вычисление искомой вероятности
Искомая вероятность P(A) — это вероятность того, что отклонение больше одного миллиметра (то есть доска слишком толстая или слишком тонкая). Так как сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P(A)=1-P(A).Мы знаем, что P(A)=P(|X-20|≤1)=0,95. Следовательно:
P(A)=1-0,95=0,05.Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная доска имеет толщину более 21 мм или менее 19 мм, равна 0,05.
0,05
Задача решается через свойства вероятностного пространства. Ключевой момент — вычислить стандартное отклонение (σ=0,5) и заметить, что интервал (19;21) симметричен относительно среднего 20 и его полуширина равна 1, что в точности равно 2σ. Условие прямо даёт вероятность попадания в этот интервал (0,95), поэтому искомая вероятность выхода за его пределы равна дополнению до единицы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 391 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 391?
Краткий ответ: 0,05.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.