ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 393
Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Бинарная случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром p (q=1-p).
а) Постройте график зависимости дисперсии DX от p.
б) При каком значении p дисперсия максимальна?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи вспомним формулу дисперсии для случайной величины, имеющей распределение Бернулли. Если X принимает значения 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью q=1-p, то математическое ожидание равно M(X)=p, а дисперсия вычисляется по формуле:
DX=p(1-p)=p-p2Нам нужно исследовать эту квадратичную функцию от параметра p на промежутке [0;1], так как вероятность не может быть отрицательной или больше единицы.
Шаг 1. Построение графика зависимости DX(p) (пункт а)
Рассмотрим функцию f(p)=p-p2. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при p2 равен -1 (отрицательный).
- Нули функции: Приравняем f(p)=0: p(1-p)=0. Отсюда p1=0 и p2=1. График пересекает ось абсцисс в точках (0;0) и (1;0).
- Вершина параболы: Координата вершины по оси p находится по формуле pверш =-b/2a, где a=-1,b=1. Тогда pверш =-1/2(-1)=0,5. Значение функции в вершине: f(0,5)=0,5-(0,5)2=0,5-0,25=0,25. Точка максимума имеет координаты (0,5;0,25).
Таким образом, график представляет собой дугу параболы, проходящую через точки (0;0), (0,5;0,25) и (1;0).
Шаг 2. Нахождение максимального значения дисперсии (пункт б)
Из анализа графика и свойств квадратичной функции следует, что наибольшее значение функция DX=p(1-p) принимает в своей вершине.
Мы уже вычислили координату вершины по оси p:
p=0,5Проверим это производным методом (если ученик знаком с дифференцированием):
DX′=(p-p2)′=1-2pПриравниваем производную к нулю для поиска экстремумов:
1-2p=0⇒2p=1⇒p=0,5Вторая производная DX′′=-2<0, что подтверждает наличие максимума.
Шаг 3. Итоговый ответ и проверка
Дисперсия достигает своего максимального значения 0,25 при p=0,5. Это логично: когда событие происходит с вероятностью 0,5 (как подбрасывание монеты), результат наиболее непредсказуем, и разброс значений вокруг среднего максимален. При p=0 или p=1 исход предопределён, и дисперсия равна 0.
а) График — часть параболы y=p-p2 на отрезке [0;1] с вершиной в точке (0,5;0,25).
б) При p=0,5.
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 393 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 393?
Краткий ответ: а) График — часть параболы y=p-p^2 на отрезке [0;1] с вершиной в точке (0,5; 0,25). б) При p = 0,5.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.