10–11 классы Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 394

Тема: Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 393 395 →

Условие

Игральный кубик бросают дважды. Найдите дисперсию (с округлением до тысячных) следующих случайных величин

а) сумма очков на двух костях

б) модуль разности очков на двух костях

в) наибольшее число очков

г) наименьшее число очков.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи нам потребуется вспомнить формулу дисперсии дискретной случайной величины: D(X)=E(X²)-(E(X))², где E(X) — математическое ожидание, а E(X²) — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Всего при двух бросках игрального кубика существует 6×6=36 равновероятных исходов. Вероятность каждого конкретного исхода (i,j) равна 1/36.

Шаг 1. Дисперсия суммы очков на двух костях

Обозначим сумму очков через S. Возможные значения S: от 2 до 12.

Найдем вероятности для каждого значения суммы:

P(S=2)=1/36 (исход 1+1)
P(S=3)=2/36 (1+2, 2+1)
P(S=4)=3/36 (1+3, 2+2, 3+1)
P(S=5)=4/36 (1+4, 2+3, 3+2, 4+1)
P(S=6)=5/36 (1+5, ..., 5+1)
P(S=7)=6/36 (1+6, ..., 6+1)
P(S=8)=5/36 (симметрично сумме 6)
P(S=9)=4/36 (симметрично сумме 5)
P(S=10)=3/36 (симметрично сумме 4)
P(S=11)=2/36 (симметрично сумме 3)
P(S=12)=1/36 (симметрично сумме 2)

Вычислим математическое ожидание E(S):

E(S)=∑12k=2k·P(S=k)=1/36(2·1+3·2+4·3+5·4+6·5+7·6+8·5+9·4+10·3+11·2+12·1) E(S)=1/36(2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12)=252/36=7

Вычислим математическое ожидание квадрата E(S²):

E(S²)=∑12k=2k²·P(S=k)=1/36(4·1+9·2+16·3+25·4+36·5+49·6+64·5+81·4+100·3+121·2+144·1) E(S²)=1/36(4+18+48+100+180+294+320+324+300+242+144)=1974/36=54,8333...

Находим дисперсию:

D(S)=E(S²)-(E(S))²=54,8333...-7²=54,8333...-49=5,8333...

Округляем до тысячных: 5,833.

Шаг 2. Дисперсия модуля разности очков

Обозначим модуль разности через R=|X₁-X₂|. Возможные значения R: 0,1,2,3,4,5.

Найдем количество исходов для каждого значения R:

R=0: пары одинаковых чисел (1,1)...(6,6). Количество: 6. P(R=0)=6/36.
R=1: пары (1,2),(2,1),(2,3),(3,2)...(5,6),(6,5). Количество: 10. P(R=1)=10/36.
R=2: пары (1,3),(3,1)...(4,6),(6,4). Количество: 8. P(R=2)=8/36.
R=3: пары (1,4),(4,1)...(3,6),(6,3). Количество: 6. P(R=3)=6/36.
R=4: пары (1,5),(5,1),(2,6),(6,2). Количество: 4. P(R=4)=4/36.
R=5: пары (1,6),(6,1). Количество: 2. P(R=5)=2/36.

Проверка суммы вероятностей: 6+10+8+6+4+2=36. Все верно.

Вычислим E(R):

E(R)=1/36(0·6+1·10+2·8+3·6+4·4+5·2)=1/36(0+10+16+18+16+10)=70/36=35/18≈1,9444

Вычислим E(R²):

E(R²)=1/36(0²·6+1²·10+2²·8+3²·6+4²·4+5²·2)=1/36(0+10+32+54+64+50)=210/36=35/6≈5,8333

Находим дисперсию:

D(R)=E(R²)-(E(R))²=35/6-(35/18)²=35/6-1225/324

Приведем к общему знаменателю 324 (6·54=324):

D(R)=35·54/324-1225/324=1890-1225/324=665/324≈2,052469...

Округляем до тысячных: 2,052.

Шаг 3. Дисперсия наибольшего числа очков

Обозначим наибольшее число через M=max(X_1,X₂). Возможные значения M: 1,2,3,4,5,6.

Количество исходов, где максимум равен k, можно найти как разницу между количеством исходов с максимумом ≤k и с максимумом ≤k-1. Количество исходов с X_i≤k равно k². Значит, N(M=k)=k²-(k-1)²=2k-1.

M=1: 2(1)-1=1 исход. P(M=1)=1/36.
M=2: 2(2)-1=3 исхода. P(M=2)=3/36.
M=3: 2(3)-1=5 исходов. P(M=3)=5/36.
M=4: 2(4)-1=7 исходов. P(M=4)=7/36.
M=5: 2(5)-1=9 исходов. P(M=5)=9/36.
M=6: 2(6)-1=11 исходов. P(M=6)=11/36.

Вычислим E(M):

E(M)=1/36(1·1+2·3+3·5+4·7+5·9+6·11)=1/36(1+6+15+28+45+66)=161/36≈4,4722

Вычислим E(M²):

E(M²)=1/36(1²·1+2²·3+3²·5+4²·7+5²·9+6²·11)=1/36(1+12+45+112+225+396)=791/36≈21,9722

Находим дисперсию:

D(M)=E(M²)-(E(M))²=791/36-(161/36)²=791·36-161²/36²=28476-25921/1296=2555/1296≈1,97145...

Округляем до тысячных: 1,971.

Шаг 4. Дисперсия наименьшего числа очков

Обозначим наименьшее число через m=min(X_1,X₂). Из симметрии распределения кубика следует, что распределение минимума зеркально распределению максимума относительно середины диапазона [1, 6].

Если M принимает значение k с вероятностью p_k, то m принимает значение 7-k с той же вероятностью p_k. Например, вероятность того, что минимум равен 1, такая же, как вероятность того, что максимум равен 6 (11/36).

Свойства дисперсии: D(aX+b)=a²D(X). Здесь связь линейная с коэффициентом -1 (так как m=7-M в смысле распределения значений, но точнее сказать, что переменные имеют одинаковую дисперсию из-за симметрии гистограммы вероятностей).

Давайте проверим вычислениями для уверенности.

Вероятности для m:

m=1: 11 исходов. P(m=1)=11/36.
m=2: 9 исходов. P(m=2)=9/36.
m=3: 7 исходов. P(m=3)=7/36.
m=4: 5 исходов. P(m=4)=5/36.
m=5: 3 исхода. P(m=5)=3/36.
m=6: 1 исход. P(m=6)=1/36.

Вычислим E(m):

E(m)=1/36(1·11+2·9+3·7+4·5+5·3+6·1)=1/36(11+18+21+20+15+6)=91/36≈2,5278

Заметим, что E(m)+E(M)=91/36+161/36=252/36=7. Это ожидаемо.

Вычислим E(m²):

E(m²)=1/36(1²·11+2²·9+3²·7+4²·5+5²·3+6²·1)=1/36(11+36+63+80+75+36)=301/36≈8,3611

Находим дисперсию:

D(m)=E(m²)-(E(m))²=301/36-(91/36)²=301·36-91²/1296=10836-8281/1296=2555/1296≈1,97145...

Результат совпадает с дисперсией максимума, что подтверждает симметрию.

Округляем до тысячных: 1,971.

Ответ

а) 5,833

б) 2,052

в) 1,971

г) 1,971

Задача требует применения определения дисперсии через математические ожидания. Для каждого пункта составлено распределение вероятностей случайной величины, найдены E(X) и E(X^2), затем вычислена D(X). Пункты в) и г) демонстрируют свойство симметрии: дисперсии максимума и минимума двух независимых одинаково распределенных величин равны.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 394 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 394?

Краткий ответ: а) 5,833 б) 2,052 в) 1,971 г) 1,971.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 35. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.