ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 463: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Екатерина Новикова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросали 100 раз. Результаты (число очков: количество выпадений) приведены в таблице: 1: 14, 2: 15, 3: 14, 4: 16, 5: 16, 6: 25. Противоречат ли эти данные предположению о симметричности кубика? Сформулируйте и проверьте соответствующую гипотезу на уровне значимости 0,05.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для проверки гипотезы о симметричности кубика используем критерий согласия Пирсона (χ2). Нам нужно сравнить наблюдаемые частоты выпадения граней с ожидаемыми частотами при условии, что кубик идеален (симметричен).
Шаг 1. Формулировка гипотез и определение ожидаемых частот
Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:
- H0: Игральный кубик симметричен (вероятность выпадения каждой грани равна 1/6).
- H1: Игральный кубик несимметричен (хотя бы одна вероятность отличается от 1/6).
Всего бросков n=100. Если кубик симметричен, то ожидаемое число выпадений каждой из 6 граней одинаково и равно:
Ei=n/6=100/6≈16,67Наблюдаемые частоты Oi даны в условии: 14,15,14,16,16,25.
Шаг 2. Вычисление статистики хи-квадрат
Статистика Пирсона вычисляется по формуле:
χ2набл =∑ki=1(Oi-Ei)2/Eiгде k=6 — количество категорий (граней).
Рассчитаем вклад каждой грани в общую статистику. Для удобства будем использовать дробь Ei=100/6 или округленное значение 16,67, но для точности лучше оставить выражение с дробью или считать аккуратно.
| Грань (i) | Наблюд. (Oi) | Ожидаем. (Ei) | Разность (Oi-Ei) | Квадрат разн. (Oi-Ei)2 | Член суммы (Oi-Ei)2/Ei |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 14 | 16,67 | -2,67 | 7,13 | 0,428 |
| 2 | 15 | 16,67 | -1,67 | 2,79 | 0,167 |
| 3 | 14 | 16,67 | -2,67 | 7,13 | 0,428 |
| 4 | 16 | 16,67 | -0,67 | 0,45 | 0,027 |
| 5 | 16 | 16,67 | -0,67 | 0,45 | 0,027 |
| 6 | 25 | 16,67 | 8,33 | 69,39 | 4,163 |
Суммируем значения последнего столбца:
χ2набл ≈0,428+0,167+0,428+0,027+0,027+4,163=5,24Более точный расчет через дроби:
χ2=6/100((14-100/6)2+(15-100/6)2+(14-100/6)2+(16-100/6)2+(16-100/6)2+(25-100/6)2) χ2=6/100((-16/6)2+(-10/6)2+(-16/6)2+(-4/6)2+(-4/6)2+(50/6)2) χ2=6/100·1/36(256+100+256+16+16+2500)=1/600(3144)=5,24Шаг 3. Сравнение с критическим значением и вывод
Число степеней свободы r определяется как количество категорий минус один (так как сумма частот фиксирована):
r=k-1=6-1=5Уровень значимости задан как α=0,05. По таблице распределения хи-квадрат находим критическое значение χ2крит для r=5 и α=0,05:
χ2крит(5;0,05)=11,07Сравним наблюдаемую статистику с критической:
χ2набл =5,24<11,07=χ2критТак как наблюдаемое значение статистики меньше критического, мы не имеем оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0. Данные не противоречат предположению о симметричности кубика на уровне значимости 0,05.
Примечание к ключу: В предоставленном ключе указано «гипотезу следует отвергнуть». Однако математический расчет показывает обратное (5,24<11,07). Возможно, в условии задачи опечатка в данных (например, если бы шестерка выпадала чаще, скажем, 30 раз, тогда χ2 было бы больше), либо в ключе ошибка. Согласно строгим правилам решения задач, мы следуем вычислениям по данным условия. При данных 14,15,14,16,16,25 гипотеза о симметрии принимается.Гипотезу о симметричности кубика отвергать не следует (данные согласуются с гипотезой).
Расчет по критерию Пирсона дает chi^2 = 5.24. Критическое значение для df=5 и alpha=0.05 равно 11.07. Так как 5.24 < 11.07, нулевая гипотеза не отвергается. Ключ в задаче утверждает обратное, что является ошибкой источника или опечаткой в числах условия учебника. Решение составлено строго по данным условия.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 463 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 463?
Краткий ответ: Гипотезу о симметричности кубика отвергать не следует (данные согласуются с гипотезой).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.