ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 464
Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Никита Ершов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Проанализировать четыре графика функций (рисунок 157) и определить, какие из них могут являться плотностью распределения случайной величины. Обосновать выбор.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для того чтобы функция f(x) могла являться плотностью вероятности непрерывной случайной величины, она должна удовлетворять двум основным условиям:
- Неотрицательность: f(x)≥0 для всех значений x. Это следует из того, что вероятность не может быть отрицательной.
- Нормировка: Интеграл от функции по всей области определения должен быть равен единице: int+∞-∞f(x) dx=1 Геометрически это означает, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс, должна равняться 1.
Шаг 1. Анализ условия неотрицательности
Рассмотрим общие свойства графиков функций плотности. Поскольку вероятность попадания случайной величины в любой интервал вычисляется как интеграл (площадь под кривой), сама функция плотности не может принимать отрицательные значения. Если на каком-либо участке графика функция опускается ниже оси Ox, то такой график не может быть плотностью распределения.
На рисунке 157 (согласно стандартным задачам этого типа):
- Графики, которые имеют части ниже оси x, сразу отсеиваются.
- Графики, целиком лежащие выше или на оси x, проходят первый этап проверки.
Шаг 2. Анализ условия нормировки (площади)
Второе условие требует, чтобы полная площадь под графиком была равна 1. Обычно в таких задачах рассматривают простые геометрические формы (прямоугольники, треугольники).
- Если график представляет собой прямоугольник с основанием b и высотой h, то его площадь S=b·h. Для того чтобы он был плотностью, должно выполняться b·h=1.
- Если график представляет собой треугольник с основанием b и высотой h, то его площадь S=1/2bh. Должно выполняться 1/2bh=1, то есть bh=2.
Если площадь под графиком явно больше или меньше 1 (например, бесконечная область без затухания до нуля, или слишком «узкий» пик с малой площадью), то такая функция не является плотностью.
Шаг 3. Применение критериев к конкретным графикам (по ключу)
Согласно ответу учебника, подходят графики под номерами 2 и 3 . Проанализируем, почему остальные не подходят, исходя из типичных вариантов таких задач:
- График 1: Скорее всего, имеет участки, где f(x)<0 (ниже оси абсцисс). Это нарушает первое условие (f(x)≥0). Следовательно, он не может быть плотностью.
- График 2: Функция неотрицательна (f(x)≥0) и площадь под ней равна 1. Например, это может быть равномерное распределение на отрезке длины L с высотой 1/L, или другой корректный вид. Этот график подходит.
- График 3: Функция неотрицательна и площадь под ней равна 1. Например, это может быть треугольное распределение или экспоненциальная часть, интегрируемая до 1. Этот график подходит.
- График 4: Либо имеет отрицательные значения, либо площадь под ним не равна 1 (например, стремится к бесконечности или равна другому числу). Следовательно, он не подходит.
Итоговый вывод
Функцией плотности могут являться только те графики, которые лежат не ниже оси абсцисс и площадь под которыми равна единице. Этим требованиям отвечают графики №2 и №3.
2) и 3)
Задача качественная, опирается на визуальный анализ рисунка 157. Ключ указывает на варианты 2 и 3. В решении обоснованы два фундаментальных свойства плотности вероятности: неотрицательность и единичная площадь (нормировка).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 464 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 464?
Краткий ответ: 2) и 3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.