ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 468
Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Случайная величина X непрерывна. Даны вероятности: P(X<b)=0 при b<0; P(X<b)=b2 при 0≤b≤1; P(X<b)=1 при b>1. Построить график функции плотности распределения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для построения графика функции плотности вероятности f(x) необходимо сначала найти её аналитическое выражение. Функция плотности является производной от функции распределения F(x)=P(X<x). Таким образом, нам нужно продифференцировать заданную кусочно-заданную функцию F(b) по переменной b (которую в дальнейшем обозначим как x).
Шаг 1. Определение функции распределения F(x)
По условию задачи функция распределения F(x) имеет вид:
nF(x)={0,x<0x2,0≤x≤11,x>1Здесь мы заменили параметр b на переменную x, так как функция распределения зависит от значения случайной величины.
Шаг 2. Нахождение функции плотности f(x)
Функция плотности вероятности определяется как производная функции распределения: f(x)=F′(x).
Рассмотрим каждый интервал отдельно:
- При x<0: F(x)=0. Производная константы равна нулю, следовательно, f(x)=0.
- При 0<x<1: F(x)=x2. Производная степенной функции (x2)′=2x. Следовательно, f(x)=2x.
- При x>1: F(x)=1. Производная константы равна нулю, следовательно, f(x)=0.
В точках стыка (x=0 и x=1) значение функции плотности можно определить из условия непрерывности или оставить неопределённым, так как для интегрирования это не существенно. Обычно записывают:
nf(x)={2x,0≤x≤10,x<0 или x>1Шаг 3. Построение графика функции плотности
График функции f(x) состоит из следующих элементов:
- На промежутке (-∞;0) график совпадает с осью абсцисс (y=0).
- На промежутке [0;1] график представляет собой отрезок прямой линии, проходящей через начало координат (0;0) и точку (1;2). Уравнение этой части: y=2x.
- На промежутке (1;+∞) график снова совпадает с осью абсцисс (y=0).
Таким образом, график выглядит как треугольник с основанием на оси Ox от 0 до 1 и высотой 2 в точке x=1, но «стоящий» на боку (гипотенуза идёт вверх). Площадь под этим графиком должна быть равна единице, что проверим далее.
Шаг 4. Проверка результата
Свойство нормировки функции плотности требует, чтобы интеграл по всей числовой прямой был равен 1:
int+∞-∞f(x)dx=int102xdx=[x2]10=12-02=1.Условие выполнено. Также площадь фигуры под графиком (треугольника с катетами 1 и 2) равна 1/2·1·2=1, что согласуется с теорией.
f(x) = 2x при 0 <= x <= 1, f(x) = 0 иначе
Задача сводится к дифференцированию функции распределения. Важно помнить, что плотность существует только там, где функция распределения возрастает. В данном случае рост происходит на отрезке [0;1], где F(x)=x^2, поэтому f(x)=(x^2)'=2x. Вне этого отрезка вероятность постоянна, значит плотность равна нулю.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 468 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 468?
Краткий ответ: f(x) = 2x при 0 <= x <= 1, f(x) = 0 иначе.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.