ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 472
Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В круге единичного радиуса наугад выбирают точку. Случайная величина R — расстояние от выбранной точки до центра круга. Построить график функции плотности распределения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам нужно найти функцию плотности вероятности f(r) случайной величины R, которая представляет собой расстояние от центра до случайно выбранной точки в круге радиуса 1. Затем на основе этой функции построим график.
Шаг 1. Определение области значений и распределения
Так как точка выбирается наугад внутри круга единичного радиуса, то все точки равновероятны. Это означает, что вероятность попадания точки в некоторую область пропорциональна площади этой области.
Случайная величина R может принимать значения от 0 (если точка попала в центр) до 1 (если точка попала на границу круга). Таким образом, область определения плотности: r∈[0;1]. Вне этого интервала плотность равна нулю.
Шаг 2. Вывод формулы плотности вероятности
Найдём сначала функцию распределения F(r)=P(R<r). Событие R<r означает, что выбранная точка находится внутри концентрического круга радиуса r (где 0≤r≤1).
Площадь всего исходного круга радиуса 1 равна Stotal=π·12=π.
Площадь круга радиуса r равна Sr=πr2.
Вероятность того, что точка попадёт в круг радиуса r, равна отношению площадей:
F(r)=Sr/Stotal=πr2/π=r2Функция плотности вероятности f(r) является производной от функции распределения F(r) по переменной r:
f(r)=F′(r)=(r2)′=2rИтак, функция плотности имеет вид:
f(r)={2r,0≤r≤10,r<0 или r>1Шаг 3. Построение графика
График функции плотности f(r) на отрезке [0;1] — это отрезок прямой линии, проходящей через начало координат (0;0) и точку (1;2), так как при r=1 значение f(1)=2·1=2.
Вне отрезка [0;1] график совпадает с осью абсцисс (f(r)=0).
Проверка свойства нормировки: площадь под кривой плотности должна быть равна 1. Площадь треугольника с основанием 1 и высотой 2 равна 1/2·1·2=1. Условие выполнено верно.
а) Функция плотности: f(r)=2r при 0≤r≤1, f(r)=0 иначе.
б) График: линейно возрастающая прямая от точки (0;0) до (1;2) на отрезке [0;1], вне его — нулевая.
Задача классическая на вывод плотности равномерного распределения точек на плоскости. Ключевой момент — переход от геометрической вероятности (отношение площадей) к дифференциальной форме (производная). Важно отметить, что плотность не постоянна, а возрастает линейно, так как 'кольца' одинаковой ширины имеют разную площадь.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 472 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 472?
Краткий ответ: а) Функция плотности: f(r) = 2r при 0 r 1, f(r) = 0 иначе. б) График: линейно возрастающая прямая от точки (0;0) до (1;2) на отрезке [0;1], вне его — нулевая.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.