10–11 классы Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 474

Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Роман Жуков, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 473 475 →

Условие

Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [5;9]. Найти вероятность событий

а) 2≤X≤7

б) 4,5≤X≤12,5

в) |X-7|≤1

г) |X-7|≤0,5.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Дана непрерывная случайная величина X, равномерно распределённая на отрезке [5;9]. Это означает, что функция плотности вероятности f(x) равна константе на этом отрезке и нулю вне его.

Шаг 1. Определение параметров равномерного распределения

Для равномерного распределения на отрезке [a;b] длина интервала равна b-a. В нашем случае a=5 и b=9.

Длина интервала: L=9-5=4.

Функция плотности вероятности имеет вид:

f(x)={1/4,x∈[5;9]0,x∉[5;9]

Вероятность попадания случайной величины в некоторый подынтервал [c;d], лежащий внутри [a;b], вычисляется как отношение длины этого подынтервала к длине всего интервала распределения:

P(c≤X≤d)=d-c/b-a=d-c/4

Если интервал события частично или полностью выходит за пределы [5;9], мы должны учитывать только ту часть интервала, которая пересекается с областью определения X.

Шаг 2. Решение пункта а) P(2≤X≤7)

Нам нужно найти вероятность того, что X попадёт в интервал [2;7].

Область значений X — это [5;9]. Пересечение интервала события [2;7] и области определения [5;9] даёт эффективный интервал [5;7] (так как значения меньше 5 невозможны).

Длина эффективного интервала: 7-5=2.

Вычисляем вероятность:

P(2≤X≤7)=7-5/9-5=2/4=0,5

Шаг 3. Решение пункта б) P(4,5≤X≤12,5)

Интервал события: [4,5;12,5].

Найдём пересечение с областью определения X∈[5;9].

Левая граница пересечения: max(4,5;5)=5.
Правая граница пересечения: min(12,5;9)=9.

Эффективный интервал: [5;9]. Он совпадает со всей областью определения случайной величины.

Длина эффективного интервала: 9-5=4.

Вычисляем вероятность:

P(4,5≤X≤12,5)=9-5/9-5=4/4=1

Это логично, так как все возможные значения X попадают в указанный широкий интервал.

Шаг 4. Решение пункта в) P(|X-7|≤1)

Сначала раскроем модуль в неравенстве:

|X-7|≤1iff-1≤X-7≤1iff6≤X≤8

Интервал события: [6;8].

Проверим, лежит ли этот интервал внутри области определения [5;9].

Так как 5≤6 и 8≤9, весь интервал [6;8] находится внутри допустимых значений X.

Длина интервала события: 8-6=2.

Вычисляем вероятность:

P(6≤X≤8)=8-6/9-5=2/4=0,5

Шаг 5. Решение пункта г) P(|X-7|≤0,5)

Раскроем модуль:

|X-7|≤0,5iff-0,5≤X-7≤0,5iff6,5≤X≤7,5

Интервал события: [6,5;7,5].

Проверяем принадлежность интервала области определения [5;9].

Так как 5≤6,5 и 7,5≤9, интервал целиком лежит внутри области определения.

Длина интервала события: 7,5-6,5=1.

Вычисляем вероятность:

P(6,5≤X≤7,5)=7,5-6,5/9-5=1/4=0,25

Ответ

а) 0,5

б) 1

в) 0,5

г) 0,25

В задачах на равномерное распределение вероятность события равна отношению длины части интервала, попадающей в область определения случайной величины, к общей длине этой области. Важно проверять пересечение заданного интервала с отрезком [5; 9].

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 474 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 474?

Краткий ответ: а) 0,5 б) 1 в) 0,5 г) 0,25.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.