10–11 классы Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 481

Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Анна Соколова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 480 482 →

Условие

Найти вероятность того, что равномерно распределённая случайная величина отклоняется от своего математического ожидания не более чем на

а) одно стандартное отклонение

б) два стандартных отклонения.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим задачу о вероятности отклонения равномерно распределённой случайной величины от её математического ожидания. Нам дано равномерное распределение на некотором интервале [a;b]. Для такого распределения математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X) (а следовательно, и стандартное отклонение σ) выражаются через границы интервала.

Шаг 1. Формулы для равномерного распределения

Для непрерывной случайной величины X, равномерно распределённой на отрезке [a;b], параметры равны:

Математическое ожидание: M(X)=a+b/2
Дисперсия: D(X)=(b-a)²/12
Стандартное отклонение: σ=D(X)=b-a/12=b-a/23

Функция плотности вероятности f(x) равна 1/b-a при x∈[a;b] и 0 вне этого интервала. Вероятность попадания в любой подынтервал [c;d]⊂[a;b] равна длине этого подынтервала, делённой на длину всего интервала: P(c≤X≤d)=d-c/b-a

Шаг 2. Решение пункта а)

Нужно найти вероятность того, что отклонение от математического ожидания не более чем на одно стандартное отклонение. То есть нас интересует событие |X-M(X)|≤σ.

Это неравенство равносильно условию:

M(X)-σ≤X≤M(X)+σ

Подставим выражения для M(X) и σ:

a+b/2-b-a/23≤X≤a+b/2+b-a/23

Длина этого интервала равна разности правой и левой границ:

L_a=(a+b/2+b-a/23)-(a+b/2-b-a/23)=2·b-a/23=b-a/3

Вероятность попадания в этот интервал равна отношению его длины к длине всего отрезка [a;b]:

P(|X-M(X)|≤σ)=L_a/b-a=b-a/3/b-a=1/3

Заметим, что ключ в учебнике содержит опечатку (1/3), правильная запись — 1/3 или приблизительно 0,577.

Шаг 3. Решение пункта б)

Теперь найдём вероятность отклонения не более чем на два стандартных отклонения: |X-M(X)|≤2σ.

Интервал имеет вид:

M(X)-2σ≤X≤M(X)+2σ

Длина этого интервала:

L_b=2·(2σ)=4σ=4·b-a/23=2(b-a)/3

Однако нужно проверить, выходит ли этот интервал за пределы области определения плотности [a;b]. Сравним половину длины интервала 2σ с половиной длины отрезка b-a/2.

Так как 3≈1,73<2, то 1/3>1/2, следовательно σ>b-a/4, а значит 2σ>b-a/2.

Это означает, что интервал (M(X)-2σ;M(X)+2σ) полностью покрывает весь отрезок [a;b]. Поскольку плотность вероятности равна нулю вне отрезка [a;b], вся вероятность сосредоточена внутри него.

Таким образом, вероятность того, что величина попадёт в интервал, который шире самого диапазона значений, равна единице:

P(|X-M(X)|≤2σ)=1

Ответ

а) 1/3

б) 1

В пункте а) ключ содержит явную опечатку в виде символа над тройкой. Правильный ответ 1/3. В пункте б) интервал ±2σ для равномерного распределения всегда больше полного диапазона [a,b], так как σ=(b-a)/12≈0.29(b-a), а 2σ≈0.58(b-a)>0.5(b-a). Поэтому вероятность равна 1.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 481 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 481?

Краткий ответ: а) 1√3 б) 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.