10–11 классы Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 484

Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Татьяна Белова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 483 485 →

Условие

Случайная величина T имеет показательное распределение с параметром θ. Найдите вероятности следующих событий

а) P(T>=2θ)

б) P(0<=T<=2θ)

в) P(T<=-2θ)

г) P(T>-2θ)

д) P(θ<=T<=3θ).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи вспомним свойства показательного распределения. Случайная величина T имеет плотность вероятности вида:

f(t)={1/θe^-t/θ,t≥00,t<0

где θ>0 — параметр масштаба (среднее значение). Функция распределения (вероятность того, что T примет значение меньше или равное x) для x≥0 имеет вид:

F(x)=P(T≤x)=1-e^-x/θ

Для x<0 вероятность F(x)=0, так как показательная случайная величина не может принимать отрицательные значения.

Шаг 1. Решение пункта а) P(T≥2θ)

Вероятность того, что величина превысит некоторое значение, можно найти через функцию распределения:

P(T≥x)=1-P(T<x)=1-F(x)

Подставим x=2θ. Так как 2θ>0, используем формулу для положительной области:

P(T≥2θ)=1-(1-e^-2θ/θ)=e^-2

Вычислим численное значение:

e^-2≈0,1353

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,135.

Шаг 2. Решение пункта б) P(0≤T≤2θ)

Вероятность попадания в интервал [a;b] вычисляется как разность значений функции распределения на концах интервала:

P(a≤T≤b)=F(b)-F(a)

В нашем случае a=0, b=2θ. Значение F(0) равно:

F(0)=1-e^-0/θ=1-1=0

Значение F(2θ) мы уже находили косвенно в пункте а): F(2θ)=1-e^-2.

Тогда искомая вероятность:

P(0≤T≤2θ)=(1-e^-2)-0=1-e^-2

Численно:

1-0,1353=0,8647

Округляя до трёх знаков, получаем 0,865.

Примечание: В ключе ответа указано число 0,233, что противоречит стандартным свойствам показательного распределения (1-e^-2≈0,865). Вероятно, в ключе опечатка или перепутаны пункты. Мы приводим математически верный расчёт.

Шаг 3. Решение пункта в) P(T≤-2θ)

Показательное распределение определено только для неотрицательных значений (T≥0).

Так как параметр θ>0, то -2θ<0.

Следовательно, событие T≤-2θ невозможно, так как случайная величина не может быть меньше нуля.

P(T≤-2θ)=0

Шаг 4. Решение пункта г) P(T>-2θ)

Это событие является противоположным событию из пункта в).

Так как T всегда неотрицательно (T≥0), то оно автоматически больше любого отрицательного числа, включая -2θ.

P(T>-2θ)=1-P(T≤-2θ)=1-0=1

Шаг 5. Решение пункта д) P(θ≤T≤3θ)

Используем формулу вероятности попадания в интервал:

P(θ≤T≤3θ)=F(3θ)-F(θ)

Найдем значения функции распределения:

F(3θ)=1-e^-3θ/θ=1-e^-3 F(θ)=1-e^-θ/θ=1-e^-1

Вычислим разность:

P(θ≤T≤3θ)=(1-e^-3)-(1-e^-1)=e^-1-e^-3

Подставим численные значения экспонент:

e^-1≈0,3679 e^-3≈0,0498 0,3679-0,0498=0,3181

Округляя до трёх знаков, получаем 0,318.

Ответ

а) 0,135

б) 0,865

в) 0

г) 1

д) 0,318

В пункте б) ключ учебника содержит ошибку (указано 0,233 вместо правильного 0,865). Расчёт выполнен строго по определению показательного распределения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 484 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 484?

Краткий ответ: а) 0,135 б) 0,865 в) 0 г) 1 д) 0,318.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.