ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 489: Нормальное распределение
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
По графикам плотностей двух нормально распределённых величин A и B (рис. 172) определить истинность утверждений
а) mA>mB
б) σA<σB
в) множества значений величин A и B одинаковы
г) множества значений функций плотности вероятности величин A и B одинаковы.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо проанализировать свойства графиков нормального распределения (кривых Гаусса). Кривая нормального распределения задаётся функцией плотности вероятности:
f(x)=1/σ2πe-(x-m)2/2σ2где m — математическое ожидание (центральная ось симметрии графика), а σ — среднее квадратичное отклонение (параметр, определяющий ширину и высоту «колокола»).
Шаг 1. Анализ положения центров распределений (mA и mB)
Математическое ожидание m соответствует абсциссе вершины кривой (оси симметрии).
- Если посмотреть на типичный рисунок для такой задачи (рис. 172 в учебнике), обычно одна кривая смещена влево или вправо относительно другой.
- Согласно ключу, утверждение 1) mA>mB является ложным.
- Это означает, что центр тяжести кривой A находится левее центра тяжести кривой B, то есть mA<mB. Или же они совпадают, но в контексте различий обычно подразумевается смещение. Если бы mA>mB, вершина кривой A была бы правее вершины кривой B. Поскольку это не так, утверждение ложно.
Шаг 2. Анализ разброса значений (σA и σB)
Параметр σ характеризует степень рассеяния данных вокруг среднего. Чем меньше σ, тем выше и уже кривая. Чем больше σ, тем ниже и шире кривая.
- Утверждение 2) σA<σB согласно ключу истинно.
- Это значит, что кривая A должна быть более «острой» и высокой, чем кривая B. На графике это выглядит так: пик функции плотности для величины A выше, чем для величины B, и сама кривая A визуально у́же.
- Таким образом, величина A имеет меньший разброс значений, чем величина B.
Шаг 3. Анализ множества значений случайных величин
Нормальное распределение теоретически определено на всей числовой прямой (-∞;+∞).
- Утверждение 3) множества значений величин A и B одинаковы истинно.
- Хотя практически значения могут быть ограничены физическим смыслом, с точки зрения математической модели нормального распределения, обе величины могут принимать любые действительные числа. Поэтому их области определения (множества возможных значений) совпадают: XA=XB=(-∞;+∞).
Шаг 4. Анализ множества значений функций плотности
Функция плотности вероятности f(x) принимает неотрицательные значения. Максимальное значение функции достигается в точке x=m и равно f(m)=1/σ2π.
- Утверждение 4) множества значений функций плотности вероятности величин A и B одинаковы ложно.
- Так как мы установили, что σA<σB, то максимальное значение плотности для A будет больше, чем для B: 1/σA2π>1/σB2π
- Следовательно, множество значений функции fA(x) — это интервал (0;fmax(A)], а для fB(x) — интервал (0;fmax(B)]. Так как верхние границы этих интервалов различны, множества значений функций также различны.
Итоговый вывод
На основании анализа свойств нормального распределения и данных из условия/ключа:
- mA>mB — Ложь .
- σA<σB — Истина .
- Множества значений величин одинаковы — Истина .
- Множества значений функций плотности одинаковы — Ложь .
а) Ложь
б) Истина
в) Истина
г) Ложь
Решение опирается на стандартные свойства кривой Гаусса. Математическое ожидание определяет сдвиг по оси X, сигма — форму колокола (ширину/высоту). Нормальная величина формально принимает значения из R, поэтому множества значений совпадают. Но так как сигмы разные, то и максимумы плотностей разные, следовательно, множества значений самих функций плотности (Y-координаты) не совпадают.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 489 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 489?
Краткий ответ: 1) Ложь 2) Истина 3) Истина 4) Ложь.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 51. Нормальное распределение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.