10–11 классы Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 486

Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 485 487 →

Условие

У просёлочной дороги уставший пешеход ожидает попутную машину. В среднем по дороге в нужном направлении проходит 5 машин в час.

а) Напишите уравнение функции плотности для случайной величины «время ожидания попутного автомобиля в минутах».

б) Найдите вероятность того, что, пропустив одну попутку, пешеход будет ждать следующей не более 10 минут.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы рассматриваем время ожидания как непрерывную случайную величину. Поскольку машины проходят по дороге случайно и независимо друг от друга (поток Пуассона), время между их прибытием подчиняется экспоненциальному закону распределения .

Шаг 1. Определение параметра интенсивности потока

По условию задачи в среднем проходит 5 машин в час. Нам нужно найти функцию плотности для времени ожидания в минутах . Сначала переведём интенсивность потока в минуты.

Если за 60 минут проходит 5 машин, то средняя частота появления машин β равна:

β=5/60=1/12 машин/мин

Для экспоненциального распределения функция плотности вероятности p(x) имеет вид:

p(x)={0,x≤0βe^-βx,x>0

Подставим найденное значение β=1/12:

p(x)={0,x≤01/12e^-x/12,x>0

Это и есть ответ на пункт а).

Шаг 2. Вычисление вероятности для пункта б)

Нам нужно найти вероятность того, что пешеход будет ждать следующей машины не более 10 минут. Обозначим это событие как A. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (a;b) вычисляется через интеграл от функции плотности или через функцию распределения F(x).

Функция распределения для экспоненциального закона: F(x)=1-e^-βx при x>0.

Вероятность того, что время ожидания X окажется меньше или равно 10 минут (P(X≤10)), равна значению функции распределения в точке x=10:

P(X≤10)=F(10)=1-e^-1/12·10=1-e^-10/12=1-e^-5/6

Вычислим численное значение:

e^-5/6≈e^-0,8333≈0,4346 P(X≤10)=1-0,4346=0,5654

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,565.

Шаг 3. Проверка результата

Проверим логику решения. Среднее время ожидания одного автомобиля составляет 1/β=12 минут. Мы ищем вероятность того, что ожидание займет менее 10 минут. Так как 10<12, вероятность должна быть меньше 0,5? Нет, для экспоненциального распределения медиана равна ln2/β≈0,693/1/12≈8,3 минуты. Поскольку 10 минут больше медианы (8,3 мин), вероятность должна быть больше 0,5. Наш результат 0,565>0,5, что согласуется с теорией.

Также можно проверить через интеграл:

int1001/12e^-x/12dx=[-e^-x/12]100=-e^-10/12-(-e⁰)=1-e^-5/6

Расчёт верен.

Ответ

а) p(x)={0,x≤01/12e^-x/12,x>0

б) 0,565

Задача на применение экспоненциального распределения. Ключевой момент — перевод единиц измерения из часов в минуты перед подстановкой в формулу. Параметр beta равен обратной величине среднего времени ожидания.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 486 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 486?

Краткий ответ: а) p(x) = cases 0, & x 0 \\ 112e^- x12, & x > 0 cases б) 0,565.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.