10–11 классы Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 483

Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Илья Морозов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 482 484 →

Условие

Рыбак, забросив удочку, в среднем ждёт поклёвки θ=4 мин.

а) Напишите уравнение функции плотности для случайной величины «срок ожидания поклёвки в минутах».

б) Найдите вероятность того, что рыбак, забросив удочку, будет ждать поклёвки не менее 5 мин.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче рассматривается непрерывная случайная величина X — время ожидания поклёвки. Поскольку среднее время ожидания задано как θ=4 мин, и речь идёт о времени до наступления события (поклёвки), логично предположить, что эта величина подчиняется экспоненциальному распределению.

Шаг 1. Определение параметров распределения

Для экспоненциального распределения математическое ожидание (среднее значение) связано с параметром интенсивности β формулой:

E(X)=1/β=θ

Из условия задачи известно, что θ=4. Следовательно, параметр β равен:

β=1/4=0,25

Функция плотности вероятности p(x) для экспоненциального распределения имеет вид:

p(x)={βe^-βx,x>00,xle0endcases

Шаг 2. Решение пункта а)

Подставим найденное значение β=0,25 в общее уравнение функции плотности. Получаем ответ для пункта а):

p(x)={0,25e^-0,25x,x>00,xle0endcases

Шаг 3. Решение пункта б)

Нам нужно найти вероятность того, что рыбак будет ждать поклёвки не менее 5 минут. То есть необходимо вычислить P(Xge5).

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a;b] равна интегралу от функции плотности на этом интервале. В данном случае нижняя граница a=5, верхняя граница b→+infty:

P(Xge5)=int+infty5p(x)dx=int+infty50,25e^-0,25xdx

Вычислим этот несобственный интеграл. Первообразная для функции 0,25e^-0,25x равна -e^-0,25x, так как производная от -e^-0,25x даёт -(-0,25)e^-0,25x=0,25e^-0,25x.

P(Xge5)=left[-e^-0,25xright]+infty5

Подставим пределы интегрирования:

P(Xge5)=lim_x→+infty(-e^-0,25x)-(-e^-0,25cdot5)

Так как e^-infty=0, первое слагаемое обращается в ноль. Второе слагаемое упрощается:

P(Xge5)=0+e^-1,25=e^-1,25

Вычислим численное значение:

e^-1,25approx0,2865

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0,287.

Проверка результата

Можно также использовать свойство функции надёжности (вероятности безотказной работы) для экспоненциального распределения: P(Xgex)=e^-βx.

Подставляем β=0,25 и x=5:

P(Xge5)=e^-0,25cdot5=e^-1,25approx0,287

Результаты совпадают, решение верно.

Ответ

а) p(x)={0,xle00,25e^-0,25x,x>0endcases

б) 0,287

Задача решается через экспоненциальное распределение, так как дано среднее время ожидания (θ). Параметр β=1/θ. Вероятность P(Xgea) вычисляется либо интегрированием плотности от a до бесконечности, либо напрямую по формуле e^-βa.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 483 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 483?

Краткий ответ: а) p(x) = cases 0, & x le 0 \\ 0,25e^-0,25x, & x > 0 endcases б) 0,287.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.