ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 479
Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Поезда метро ходят с интервалом 3 мин. Время ожидания — случайная величина. Построить график её плотности, вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Шаг 1. Определение типа распределения и функции плотности
Так как поезда ходят строго через равные промежутки времени (интервал 3 мин), а момент прихода пассажира на станцию равновероятен в течение этого интервала, время ожидания X подчиняется равномерному закону распределения.
Область возможных значений случайной величины: x∈[0;3].
Для равномерного распределения на отрезке [a;b] функция плотности вероятности f(x) постоянна внутри отрезка и равна нулю вне его. Значение плотности вычисляется по формуле:
f(x)=1/b-aПодставим наши границы a=0 и b=3:
f(x)=1/3-0=1/3Таким образом, функция плотности имеет вид:
f(x)={1/3,0≤x≤30,x<0 или x>3Графиком этой функции является горизонтальный отрезок на уровне y=1/3 для x от 0 до 3, переходящий в нулевые значения за пределами этого интервала.
Шаг 2. Вычисление математического ожидания
Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
EX=int+∞-∞x·f(x) dxУчитывая, что f(x) не равна нулю только на отрезке [0;3], пределы интегрирования сужаются до этого отрезка:
EX=int30x·1/3 dxВынесем константу 1/3 за знак интеграла и проинтегрируем x:
EX=1/3[x2/2]30Подставим верхний и нижний пределы:
EX=1/3(32/2-02/2)=1/3·9/2=3/2=1,5Итак, среднее время ожидания составляет 1,5 мин.
Шаг 3. Вычисление дисперсии
Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
DX=int+∞-∞(x-EX)2·f(x) dxИли, используя более удобную для расчетов формулу DX=E(X2)-(EX)2. Сначала найдем E(X2):
E(X2)=int30x2·f(x) dx=int30x2·1/3 dx E(X2)=1/3[x3/3]30=1/3(33/3-0)=1/3·27/3=1/3·9=3Теперь вычислим дисперсию, зная, что (EX)2=(1,5)2=2,25:
DX=3-2,25=0,75Альтернативный способ проверки через прямой интеграл:
DX=int30(x-1,5)2·1/3 dxСделаем замену переменной t=x-1,5, тогда dx=dt. Пределы меняются: при x=0,t=-1,5; при x=3,t=1,5.
DX=1/3int1,5-1,5t2 dt=1/3[t3/3]1,5-1,5=1/9((1,5)3-(-1,5)3) DX=1/9(3,375+3,375)=6,75/9=0,75Результаты совпадают. Дисперсия равна 0,75 мин².
Функция плотности: f(x)=1/3 при x∈[0;3], иначе 0.
EX=1,5 мин
DX=0,75 мин²
Задача на применение свойств равномерного распределения. Ключевые моменты: 1) Плотность равномерного распределения обратна длине интервала (1/3). 2) Математическое ожидание — середина интервала (1,5). 3) Дисперсия рассчитывается либо через интегралы, либо по готовой формуле для равномерного закона D(X)=(b-a)2/12=32/12=9/12=0,75. В решении использован метод интегрирования для демонстрации общего подхода к непрерывным величинам.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 479 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 479?
Краткий ответ: Функция плотности: f(x) = 13 при x [0; 3], иначе 0. EX = 1,5 мин DX = 0,75 мин².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.