ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 482

Событие T>2 означает, что случайная величина принимает значение больше 2. Поскольку показательное распределение определено только для неотрицательных значений, мы интегрируем плотность от 2 до бесконечности:

P(T>2)=int∞2e^-t dt.

Вычислим несобственный интеграл:

int∞2e^-t dt=[-e^-t]∞2=lim_b→∞(-e^-b)-(-e^-2)=0+e^-2=e^-2.

Численное значение: e^-2≈0,1353. Округляем до трёх знаков после запятой, получаем 0,135.

Вероятность попадания в отрезок [1;2] равна разности значений функции распределения на концах этого отрезка:

P(1≤T≤2)=F(2)-F(1).

Используем формулу F(x)=1-e^-x (так как θ=1):

F(2)=1-e^-2,
F(1)=1-e^-1.

Тогда:

P(1≤T≤2)=(1-e^-2)-(1-e^-1)=e^-1-e^-2.

Подставим численные значения (e^-1≈0,3679, e^-2≈0,1353):

0,3679-0,1353=0,2326.

Округляем до трёх знаков: 0,233.

Показательное распределение моделирует время ожидания событий, поэтому оно определено только на полуоси [0;∞). Функция плотности f(t) равна нулю при всех t<0.

Следовательно, вероятность того, что случайная величина примет значение меньше или равное -2, равна нулю:

P(T≤-2)=int-2-∞0 dt=0.

Событие T>-2 охватывает всю область определения случайной величины, так как минимально возможное значение T равно 0, а 0>-2.

Формально это можно записать через функцию распределения:

P(T>-2)=1-P(T≤-2).

Из предыдущего пункта мы знаем, что P(T≤-2)=0. Значит:

P(T>-2)=1-0=1.

Это логично, так как сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице.

Аналогично пункту б), используем разность значений функции распределения:

P(1≤T≤3)=F(3)-F(1).

Вычислим значения:

F(3)=1-e^-3,
F(1)=1-e^-1.

Разность:

P(1≤T≤3)=(1-e^-3)-(1-e^-1)=e^-1-e^-3.

Подставим численные значения (e^-1≈0,3679, e^-3≈0,0498):

0,3679-0,0498=0,3181.

Округляем до трёх знаков: 0,318.