10–11 классы Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 487

Тема: Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 486 489 →

Условие

Известно, что срок службы светодиодной лампы имеет показательное распределение. На упаковке средний срок службы заявлен, например, 8000 ч. Какое событие более вероятно: «лампа прослужит меньше заявленного среднего срока» или «лампа прослужит больше заявленного среднего срока»?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи необходимо вспомнить свойства показательного распределения и понятие функции плотности вероятности. Показательное распределение часто используется для моделирования времени до отказа или срока службы технических устройств.

Шаг 1. Запись функции плотности вероятности

Пусть T — случайная величина, обозначающая срок службы лампы (в часах). Так как распределение показательное, его функция плотности имеет вид:

f(t)={λe^-λt,t≥00,t<0

где λ>0 — параметр интенсивности отказов. Среднее значение (математическое ожидание) для показательного распределения равно E[T]=1/λ.

По условию средний срок службы равен 8000 ч. Следовательно, 1/λ=8000, откуда λ=1/8000.

Шаг 2. Вычисление вероятности прослужить меньше среднего срока

Нам нужно найти вероятность события A: «лампа прослужит меньше заявленного среднего срока», то есть P(T<8000).

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал вычисляется через интеграл от функции плотности:

P(T<8000)=int80000λe^-λt dt

Вычислим этот интеграл. Первообразная функции λe^-λt равна -e^-λt. Подставим пределы интегрирования:

P(T<8000)=[-e^-λt]80000=-e^-λ·8000-(-e^-λ·0)

Так как λ=1/8000, то произведение λ·8000=1. Также e⁰=1. Получаем:

P(T<8000)=-e^-1+1=1-1/e

Численно это составляет примерно 1-0,3679=0,6321.

Шаг 3. Вычисление вероятности прослужить больше среднего срока

Теперь найдем вероятность события B: «лампа прослужит больше заявленного среднего срока», то есть P(T>8000).

Так как сумма всех вероятностей равна 1, то:

P(T>8000)=1-P(T≤8000)=1-P(T<8000)

Используя результат предыдущего шага:

P(T>8000)=1-(1-1/e)=1/e

Численно это составляет примерно 0,3679.

Можно также вычислить напрямую через интеграл:

P(T>8000)=int∞8000λe^-λt dt=lim_b→∞[-e^-λt]b8000=0-(-e^-1)=1/e

Шаг 4. Сравнение вероятностей и вывод

Сравним полученные значения:

P(T<8000)=1-1/e≈0,63
P(T>8000)=1/e≈0,37

Очевидно, что 0,63>0,37, следовательно, P(T<8000)>P(T>8000).

Ответ: Более вероятно событие «лампа прослужит меньше заявленного среднего срока».

Ответ

Более вероятно событие «лампа прослужит меньше заявленного среднего срока».

В задаче проверяется понимание асимметрии показательного распределения. В отличие от нормального распределения, где медиана совпадает со средним значением, у показательного распределения медиана меньше среднего. Поэтому вероятность того, что случайная величина примет значение меньше своего математического ожидания, всегда больше 0,5 (а именно 1-1/e).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 487 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 487?

Краткий ответ: Более вероятно событие «лампа прослужит меньше заявленного среднего срока».

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.