ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 540
Тема: *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросают последовательно (начальное состояние 0, подъём при 6, иначе спуск). Найдите
а) уравнение оси блуждания
б) уравнение линии среднего размаха блуждания
в) математическое ожидание состояния после 60 бросков.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Рассмотрим задачу о случайном блуждании на числовой прямой. Состояние системы меняется в зависимости от выпадения граней игрального кубика. Нам нужно найти параметры линейной регрессии (оси блуждания), границы среднего размаха и математическое ожидание после определённого числа шагов.
Шаг 1. Анализ вероятностей и математического ожидания одного шага
Игральный кубик имеет 6 граней с номерами 1,2,3,4,5,6. По условию:
- При выпадении 6 происходит подъём на +1.
- При выпадении любой другой грани (1,2,3,4,5) происходит спуск на -1.
Вычислим вероятность каждого исхода для одного броска:
P(подъём)=P(Xi=+1)=1/6 P(спуск)=P(Xi=-1)=5/6Найдём математическое ожидание изменения состояния за один шаг E[Xi]:
E[Xi]=(+1)·1/6+(-1)·5/6=1-5/6=-4/6=-2/3Также найдём дисперсию одного шага D[Xi]. Сначала вычислим E[X2i]:
E[X2i]=(+1)2·1/6+(-1)2·5/6=1/6+5/6=1 D[Xi]=E[X2i]-(E[Xi])2=1-(-2/3)2=1-4/9=5/9Шаг 2. Уравнение оси блуждания (пункт а)
Ось блуждания — это линия тренда, показывающая среднее положение частицы после x шагов. Поскольку начальные координаты (0;0), уравнение прямой имеет вид y=kx, где k — это математическое ожидание приращения за один шаг.
Из предыдущего шага мы знаем, что k=E[Xi]=-2/3.
Следовательно, уравнение оси блуждания:
y=-2/3xШаг 3. Уравнение линии среднего размаха блуждания (пункт б)
Линия среднего размаха блуждания определяется как множество точек, удалённых от оси блуждания на величину стандартного отклонения суммарного смещения после x шагов.
Пусть Sx — сумма изменений состояния после x независимых бросков. Так как шаги независимы, дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
D[Sx]=x·D[Xi]=x·5/9Стандартное отклонение x (или y в контексте вертикального разброса) равно корню квадратному из дисперсии:
y=D[Sx]=5x/9=5x/3Уравнения линий среднего размаха проходят через ось блуждания с отступом вверх и вниз на величину y:
y=-2/3x±5x/3Можно также записать это в виде общего уравнения, возведя обе части в квадрат после переноса члена с x:
y+2/3x=±5x/3 (y+2/3x)2=5x/9 (3y+2x/3)2=5x/9 (3y+2x)2/9=5x/9 (3y+2x)2=5xОба варианта записи верны. Первый более нагляден как функция y(x).
Шаг 4. Математическое ожидание состояния после 60 бросков (пункт в)
Математическое ожидание положения частицы после n шагов равно произведению количества шагов на математическое ожидание одного шага (так как начальная точка 0).
Дано: n=60.
E[S60]=n·E[Xi]=60·(-2/3)Вычислим значение:
E[S60]=-120/3=-40Таким образом, ожидаемое состояние системы после 60 бросков равно -40.
а) y=-2/3x
б) y=-2/3x±1/35x или (3y+2x)2=5x
в) -40
Задача решается методами теории вероятностей для случайных блужданий. Ключевые моменты: 1) Нахождение матожидания и дисперсии одного шага. 2) Ось блуждания совпадает с линией матожидания. 3) Средний размах определяется стандартным отклонением накопленной суммы. 4) Для пункта в используется свойство линейности математического ожидания.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 540 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 540?
Краткий ответ: а) y = - 23x б) y = - 23x ± 13√5x или (3y+2x)^2=5x в) -40.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 59. *. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.