ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 128: Графы

В задаче требуется составить три различных графа, каждый из которых содержит ровно 6 рёбер. Затем для каждого графа необходимо вычислить сумму степеней всех его вершин.Шаг 1. Теоретическое обоснованиеСогласно лемме о рукопожатиях (основное свойство графов), сумма степеней всех вершин любого графа равна удвоенному количеству его рёбер. Это происходит потому, что каждое ребро соединяет две вершины и вносит вклад 1 в степень каждой из них, то есть всего 2 единицы в общую сумму степеней.Формула: ∑_v∈V°(v)=2|E| где |E| — количество рёбер.Так как по условию во всех трёх графах количество рёбер одинаково и равно 6, то и сумма степеней вершин должна быть одинаковой для всех случаев:S=2·6=12Шаг 2. Построение первого графа (Цикл)Рассмотрим простейший связный граф с 6 рёбрами — цикл длины 6 (C₆). Он состоит из 6 вершин, каждая из которых имеет степень 2.Проверка суммы степеней:Вершина A: степень 2Вершина B: степень 2Вершина C: степень 2Вершина D: степень 2Вершина E: степень 2Вершина F: степень 2Сумма: 2+2+2+2+2+2=12. Условие выполнено.Шаг 3. Построение второго графа (Звезда + дополнительные рёбра или дерево)Построим граф, состоящий из одной центральной вершины, к которой присоединены остальные. Например, возьмем вершину V₁ и соединим её с V_2,V_3,V_4,V_5,V₆. Это даст нам 5 рёбер. Нам нужно ещё одно ребро, чтобы всего было 6. Соединим V₂ и V₃ дополнительным ребром.Определим степени вершин:V₁: соединена с V_2,V_3,V_4,V_5,V₆ → степень 5V₂: соединена с V_1,V₃ → степень 2V₃: соединена с V_1,V₂ → степень 2V₄: соединена только с V₁ → степень 1V₅: соединена только с V₁ → степень 1V₆: соединена только с V₁ → степень 1Сумма степеней: 5+2+2+1+1+1=12. Условие выполнено.Шаг 4. Построение третьего графа (Два треугольника или несвязный граф)Можно построить несвязный граф, состоящий из двух отдельных циклов по 3 ребра (два треугольника). Треугольник — это полный граф K₃, у него 3 вершины и 3 ребра.Первый треугольник (вершины A, B, C):Степень каждой вершины в треугольнике равна 2.Сумма степеней первой части: 2+2+2=6.Второй треугольник (вершины D, E, F):Степень каждой вершины равна 2.Сумма степеней второй части: 2+2+2=6.Общая сумма степеней: 6+6=12. Количество рёбер: 3+3=6. Условие выполнено.Шаг 5. Итоговый выводМы придумали и описали три различных графа с 6 рёбрами. В каждом случае сумма степеней вершин оказалась равной 12, что подтверждает теорему о том, что сумма степеней вершин всегда равна удвоенному числу рёбер.