ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 180

Чтобы доказать утверждение «существует только одно простое чётное число», воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим обратное: пусть существует хотя бы два различных простых чётных числа. Обозначим их как p и q, где p≠q.

Нам нужно прийти к логическому противоречию с определением простого числа или свойствами делимости.

Вспомним определения:

• Чётное число — это натуральное число, которое делится на 2 без остатка. То есть любое чётное число n можно представить в виде n=2k, где k — натуральное число.
• Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя.

Если число является простым и чётным, то оно должно делиться на 2. Но так как оно простое, его единственными делителями могут быть 1 и само это число.

Следовательно, если простое число p делится на 2, то либо p=2, либо 2 является собственным делителем числа p (то есть 1<2<p). Если 2 — собственный делитель, то у числа p есть хотя бы три делителя: 1, 2 и p. Это противоречит определению простого числа.

Вернёмся к нашему предположению: существуют два различных простых чётных числа p и q.

Рассмотрим число p. Так как p — чётное, то p делится на 2.

Так как p — простое, то его делители — только 1 и p.

Значит, делитель 2 должен совпадать либо с 1, либо с p.

• 2≠1.
• Следовательно, 2=p.

Аналогично для числа q: так как q — простое чётное число, то q делится на 2, а значит, q=2.

Мы получили, что p=2 и q=2. Но по условию предположения p≠q. Возникает противоречие: 2≠2 — ложь.

Поскольку предположение о существовании двух различных простых чётных чисел привело к противоречию, оно неверно.

Осталось проверить, что такое число действительно существует. Число 2 является простым (делится только на 1 и на 2) и чётным (делится на 2).

Таким образом, существует ровно одно простое чётное число, и это число 2.